Упр.16.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v(2x^2+6x-3)?v(x^2+4x);
2) v(x^2+3x-10) < v(x-2).

1. $$\sqrt{2x^2+6x-3}\ge \sqrt{x^2+4x}$$

   Так как функция $$\sqrt{t}$$ возрастает, получаем систему:

   $$ \begin{cases} 2x^2+6x-3\ge x^2+4x,\\ 2x^2+6x-3\ge 0,\\ x^2+4x\ge 0. \end{cases} $$

   Из первого неравенства:

   $$ x^2+2x-3\ge 0 $$

   $$ (x+3)(x-1)\ge 0 \Rightarrow x\le -3 \text{ или } x\ge 1. $$

   Из второго:

   $$ 2x^2+6x-3\ge 0 $$

   Корни уравнения $$2x^2+6x-3=0$$:

   $$ x=\frac{-6\pm\sqrt{36+24}}{4}=\frac{-3\pm\sqrt{15}}{2}. $$

   Тогда

   $$ 2x^2+6x-3\ge 0 \Rightarrow x\le \frac{-3-\sqrt{15}}{2} \text{ или } x\ge \frac{-3+\sqrt{15}}{2}. $$

   Из третьего:

   $$ x(x+4)\ge 0 \Rightarrow x\le -4 \text{ или } x\ge 0. $$

   Пересечение всех условий даёт:

   $$ x\in(-\infty,-4]\cup[1,+\infty). $$

2. $$\sqrt{x^2+3x-10}<\sqrt{x-2}$$

   Для существования корней нужно:

   $$ \begin{cases} x^2+3x-10\ge 0,\\ x-2\ge 0. \end{cases} $$

   Так как функция $$\sqrt{t}$$ возрастает, неравенство равносильно системе:

   $$ \begin{cases} x^2+3x-10<x-2,\\ x^2+3x-10\ge 0,\\ x-2\ge 0. \end{cases} $$

   Первое неравенство:

   $$ x^2+2x-8<0 $$

   $$ (x+4)(x-2)<0 \Rightarrow -4<x<2. $$

   Второе:

   $$ x^2+3x-10\ge 0 $$

   $$ (x+5)(x-2)\ge 0 \Rightarrow x\le -5 \text{ или } x\ge 2. $$

   С учётом условия $$x\ge 2$$ получаем пересечение:

   $$ (-4,2)\cap[2,+\infty)=\varnothing. $$

Ответ

1) $$(-\infty,-4]\cup[1,+\infty)$$; 2) решений нет.