Упр.16 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (x^2-6x)(x^2+5x-6) < 0; 2) (x^2-4x+3)(x^2+3x+2)?0; 3) 4x^3-25x < 0; 4) (x^3-16x)/(x^2-x-30) < 0; 5) (x-1)(x+3)^2 (x-2) < 0; 6) (2x+1)^2 (x^2-4x+3) > 0;
7) (2x+1)^2 (x-1)(x-2)?0;
8) (x-5)(x+4)(x^2+6x+9)?0.

1. $$\left(x^2-6x\right)\left(x^2+5x-6\right)<0$$

   $$x(x-6)(x+6)(x-1)<0$$

   Корни: $$-6,\ 0,\ 1,\ 6.$$ Знак произведения меняется на каждом промежутке, поэтому

   $$x\in(-6;0)\cup(1;6).$$

2. $$\left(x^2-4x+3\right)\left(x^2+3x+2\right)\ge 0$$

   $$ (x-3)(x-1)(x+1)(x+2)\ge 0 $$

   Корни: $$-2,\ -1,\ 1,\ 3.$$ Тогда

   $$x\in(-\infty;-2]\cup[-1;1]\cup[3;+\infty).$$

3. $$4x^3-25x<0$$

   $$x(4x^2-25)<0$$

   $$x(2x-5)(2x+5)<0$$

   Корни: $$-2{,}5,\ 0,\ 2{,}5.$$ Получаем

   $$x\in(-\infty;-2{,}5)\cup(0;2{,}5).$$

4. $$\frac{x^3-16x}{x^2-x-30}<0$$

   $$\frac{x(x^2-16)}{(x+5)(x-6)}<0$$

   $$\frac{x(x-4)(x+4)}{(x+5)(x-6)}<0$$

   Область определения: $$x\ne -5,\ 6.$$ По знакам на промежутках получаем

   $$x\in(-\infty;-5)\cup(-4;0)\cup(4;6).$$

5. $$ (x-1)(x+3)^2(x-2)<0 $$

   Так как $$ (x+3)^2\ge 0 $$ и обращается в нуль при $$x=-3,$$ знак произведения определяется множителем $$ (x-1)(x-2). $$

   $$ (x-1)(x-2)<0,\quad x\ne -3 $$

   Отсюда

   $$x\in(1;2).$$

6. $$ (2x+1)^2(x^2-4x+3)>0 $$

   $$ (2x+1)^2(x-1)(x-3)>0 $$

   Поскольку $$ (2x+1)^2>0 $$ при $$x\ne -\frac12,$$ нужно решить

   $$ (x-1)(x-3)>0,\quad x\ne -\frac12. $$

   Тогда

   $$x\in(-\infty;-\tfrac12)\cup(-\tfrac12;1)\cup(3;+\infty).$$

7. $$ (2x+1)^2(x-1)(x-2)\ge 0 $$

   Так как $$ (2x+1)^2\ge 0,$$ то неравенство выполняется при

   $$ (x-1)(x-2)\ge 0 $$

   и при $$x=-\frac12.$$ Следовательно,

   $$x\in(-\infty;1]\cup[2;+\infty).$$

8. $$ (x-5)(x+4)(x^2+6x+9)\ge 0 $$

   $$ (x-5)(x+4)(x+3)^2\ge 0 $$

   Так как $$ (x+3)^2\ge 0,$$ то достаточно рассмотреть

   $$ (x-5)(x+4)\ge 0 $$

   и отдельно учесть $$x=-3.$$ Получаем

   $$x\in(-\infty;-4]\cup\{-3\}\cup[5;+\infty).$$

Ответ

1) $$(-6;0)\cup(1;6)$$;
2) $$(-\infty;-2]\cup[-1;1]\cup[3;+\infty)$$;
3) $$(-\infty;-2{,}5)\cup(0;2{,}5)$$;
4) $$(-\infty;-5)\cup(-4;0)\cup(4;6)$$;
5) $$(1;2)$$;
6) $$(-\infty;-\tfrac12)\cup(-\tfrac12;1)\cup(3;+\infty)$$;
7) $$(-\infty;1]\cup[2;+\infty)$$;
8) $$(-\infty;-4]\cup\{-3\}\cup[5;+\infty)$$.