Упр.16.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 16.15. При каких значениях параметра a множеством решений неравенства v(1-(x+2a)^2)?4/3 x является промежуток длиной 9/5?

Рассмотрим функцию

$$f(x)=\sqrt{1-(x+2a)^2}.$$

Её график — верхняя полуокружность радиуса $$1$$ с центром в точке $$(-2a,0)$$. Неравенство

$$\sqrt{1-(x+2a)^2}\ge \frac43x$$

означает, что длина множества решений по оси $$x$$ равна длине отрезка пересечения графиков функции $$y=\sqrt{1-(x+2a)^2}$$ и прямой $$y=\frac43x$$.

Найдём точку их пересечения:

$$\sqrt{1-(x+2a)^2}=\frac43x.$$

Из рисунка и условия длина промежутка решений равна $$\frac95$$, значит граница промежутка соответствует точке пересечения при

$$x=\frac95\cdot \frac13=\frac{9}{20}.$$

Тогда

$$y=\frac43\cdot \frac{9}{20}=\frac35.$$

Подставим координаты точки пересечения в уравнение окружности:

$$\left(\frac35\right)^2+\left(\frac95+2a\right)^2=1.$$

Но удобнее использовать равенство по абсциссе точки касания на рисунке:

$$\sqrt{1-\left(1-\frac95\right)^2}=\frac35,$$

откуда

$$-2a+\frac95=\frac{9}{20}.$$

Тогда

$$2a=\frac95-\frac{9}{20}=\frac{36}{20}-\frac{9}{20}=\frac{27}{20},$$

$$a=\frac{27}{40}.$$

Ответ

$$\frac{27}{40}$$