Упр.16.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 16.14. Решите неравенство (x-2)^(1/3)+v(x^3+8) < 4.

Рассмотрим функции

$$f(x)=\sqrt[3]{x-2}, \qquad g(x)=\sqrt{x^3+8}.$$

Функция $$f(x)$$ определена при всех $$x \in \mathbb{R}$$ и возрастает на $$(-\infty; +\infty)$$.

Для функции $$g(x)$$ нужно учесть область определения:

$$x^3+8 \ge 0 \;\Rightarrow\; x \ge -2.$$

На промежутке $$[-2; +\infty)$$ функция $$g(x)$$ также возрастает.

Тогда сумма $$f(x)+g(x)$$ возрастает на $$[-2; +\infty)$$, значит неравенство

$$\sqrt[3]{x-2}+\sqrt{x^3+8}<4$$

может выполняться только левее точки, где сумма равна $$4$$.

Найдём эту точку:

$$f(2)+g(2)=\sqrt[3]{0}+\sqrt{16}=0+4=4.$$

Так как сумма возрастает, то при $$x<2$$ она меньше $$4$$, а при $$x\ge 2$$ — не меньше $$4$$. С учётом области определения $$x \ge -2$$ получаем:

$$x \in [-2; 2).$$

Ответ

$$[-2; 2)$$