Упр.16.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 16.13. Решите неравенство v(x+3)+(x^3+x+6)^(1/3)?4.

Подробный ответ

Рассмотрим функции

$$f(x)=\sqrt{x+3}, \qquad g(x)=\sqrt[3]{x^3+x+6}.$$

Функция $$f(x)$$ определена при $$x \ge -3$$ и возрастает на этом промежутке.

Функция $$g(x)$$ возрастает при всех $$x \in \mathbb{R}$$, так как подкоренное выражение $$x^3+x+6$$ также возрастает на всей числовой прямой.

Тогда сумма $$f(x)+g(x)$$ возрастает на $$[-3;+\infty)$$, значит неравенство

$$\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{x^3+x+6}\ge 4$$

может выполняться начиная с некоторого значения $$x$$ и дальше для всех больших $$x$$.

Проверим точку $$x=1$$:

$$\sqrt{1+3}+\sqrt[3]{1^3+1+6}= \sqrt{4}+\sqrt[3]{8}=2+2=4.$$

Так как левая часть возрастает, то при $$x \ge 1$$ неравенство выполняется, а при $$x<1$$ — нет.