Упр.16.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство $$\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{x^3+x+6}\ ?\ 4$$.

Рассмотрим функции

$$f(x)=\sqrt{x+3}, \qquad g(x)=\sqrt[3]{x^3+x+6}.$$

Функция $$f(x)$$ определена при $$x\ge -3$$ и возрастает на своей области определения. Функция $$g(x)$$ возрастает при всех $$x\in \mathbb{R}$$, так как выражение $$x^3+x+6$$ также возрастает на $$\mathbb{R}$$.

Тогда сумма $$f(x)+g(x)$$ возрастает на $$[-3;+\infty)$$, значит неравенство

$$\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{x^3+x+6}\ge 4$$

может выполняться начиная с некоторого значения $$x$$ и дальше для всех больших $$x$$. Найдём точку, в которой левая часть равна $$4$$:

$$x=1:\quad \sqrt{1+3}+\sqrt[3]{1^3+1+6}= \sqrt4+\sqrt[3]{8}=2+2=4.$$

Так как сумма возрастает, то при $$x\ge 1$$ неравенство выполняется, а при $$x<1$$ — нет.

Ответ

$$[1;+\infty)$$