Упр.16.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v(x-6)-v(x+10)?1;
2) 2vx+v(5-x) > v(x+21).

1) $$\sqrt{x-6}-\sqrt{x+10}\le 1$$

Перенесём второй корень вправо:

$$\sqrt{x-6}\le \sqrt{x+10}+1$$

Возведём в квадрат:

$$x-6\le x+10+2\sqrt{x+10}+1$$

$$2\sqrt{x+10}\ge -17$$

Это неравенство верно при всех значениях, где выражение определено. Найдём область определения:

$$x-6\ge 0,\quad x+10\ge 0$$

$$x\ge 6,\quad x\ge -10$$

Следовательно, $$x\ge 6$$.

2) $$2\sqrt{x}+\sqrt{5-x}>\sqrt{x+21}$$

Перенесём корень вправо и возведём в квадрат:

$$2\sqrt{x}+\sqrt{5-x}>\sqrt{x+21}$$

$$4x+4\sqrt{x(5-x)}+5-x>x+21$$

$$4\sqrt{x(5-x)}>16-2x$$

$$4(5x-x^2)>(8-x)^2$$

$$20x-4x^2>64-16x+x^2$$

$$5x^2-36x+64<0$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=36^2-4\cdot 5\cdot 64=1296-1280=16$$

$$x_{1,2}=\frac{36\pm 4}{2\cdot 5}$$

$$x_1=\frac{32}{10}=3{,}2,\quad x_2=\frac{40}{10}=4$$

Тогда:

$$3{,}2<x<4$$

Проверим область определения:

$$x\ge 0,\quad 5-x\ge 0,\quad x+21\ge 0$$

$$0\le x\le 5$$

Получаем окончательно:

$$3{,}2<x<4$$

Ответ

1) $$[6;+\infty)$$

2) $$(3{,}2;4)$$