Упр.16.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 3vx-v(x+3) > 1;
2) v(x+3) < v(x-1)+v(x-2).

1) $$3\sqrt{x}-\sqrt{x+3}>1$$

Перенесём корень вправо:

$$3\sqrt{x}>\sqrt{x+3}+1$$

Возведём в квадрат:

$$9x>x+3+2\sqrt{x+3}+1$$

$$2\sqrt{x+3}<8x-4$$

$$\sqrt{x+3}<4x-2$$

Снова возведём в квадрат:

$$x+3<16x^2-16x+4$$

$$16x^2-17x+1>0$$

Найдём корни:

$$D=17^2-4\cdot 16\cdot 1=225$$

$$x_1=\frac{17-15}{2\cdot 16}=\frac{1}{16}, \qquad x_2=\frac{17+15}{2\cdot 16}=1$$

Тогда

$$\left(x-\frac{1}{16}\right)(x-1)>0,$$

откуда $$x<\frac{1}{16}$$ или $$x>1$$.

Учитываем область определения и условие $$4x-2>0$$:

$$x\ge \frac12$$.

Пересечение даёт:

$$x>1.$$

2) $$\sqrt{x+3}<\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}$$

Область определения:

$$x+3\ge 0,\quad x-1\ge 0,\quad x-2\ge 0,$$

то есть $$x\ge 2.$$

Перенесём $$\sqrt{x-1}$$ влево:

$$\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}<\sqrt{x-2}$$

Удобнее преобразовать исходное неравенство:

$$x+3<x-1+2\sqrt{(x-1)(x-2)}+x-2$$

$$2\sqrt{x^2-3x+2}>6-x$$

$$4(x^2-3x+2)>(6-x)^2$$

$$4x^2-12x+8>36-12x+x^2$$

$$3x^2>28$$

$$x^2>\frac{28}{3}$$

С учётом $$x\ge 2$$ получаем:

$$x>\frac{2\sqrt{21}}{3}.$$

Ответ

1) $$\left(1;+\infty\right)$$; 2) $$\left(\frac{2\sqrt{21}}{3};+\infty\right)$$.