Упр.16.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (x+1)v(x^2+1) > x^2-1; 3) v(12-x-x^2)/(2x-7)?v(12-x-x^2)/(x-5);
2) v(x+20)/x-1 < 0; 4) (v(x^2+x-6)+3x+13)/(x+5)?1.

Подробный ответ

$$ (x+1)\sqrt{x^2+1}>x^2-1 $$
Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель:
$$ (x+1)\sqrt{x^2+1}-(x-1)(x+1)>0 $$
$$ (x+1)\bigl(\sqrt{x^2+1}-x+1\bigr)>0 $$
Так как $$\sqrt{x^2+1}\ge |x|,$$ то
$$ \sqrt{x^2+1}-x+1>0 $$
при всех $$x$$. Значит, неравенство равносильно
$$ x+1>0, $$
откуда
$$ x>-1. $$
$$ \frac{\sqrt{x+20}}{x}-1<0 $$
$$ \frac{\sqrt{x+20}-x}{x}<0. $$
Область определения:
$$ x+20\ge 0,\quad x\ne 0. $$
Рассмотрим случаи.
1) $$x>0$$. Тогда
$$ \sqrt{x+20}-x<0 \iff \sqrt{x+20}
Возводим в квадрат:
$$ x+20<x^2 $$
$$ x^2-x-20>0 $$
$$ (x-5)(x+4)>0. $$
С учётом $$x>0$$ получаем $$x>5$$.
2) $$x<0$$. Тогда
$$ \sqrt{x+20}-x>0, $$
и дробь отрицательна при $$x<0$$. Значит, нужно лишь учитывать ОДЗ:
$$ x\ge -20,\quad x<0. $$
Итак,
$$ x\in[-20;0)\cup(5;+\infty). $$
$$ \frac{\sqrt{12-x-x^2}}{2x-7}\le \frac{\sqrt{12-x-x^2}}{x-5} $$
Перенесём в одну сторону:
$$ \sqrt{12-x-x^2}\left(\frac{1}{2x-7}-\frac{1}{x-5}\right)\le 0 $$
$$ \sqrt{12-x-x^2}\cdot \frac{x-2}{(2x-7)(x-5)}\le 0. $$
Область определения:
$$ 12-x-x^2\ge 0, \quad 2x-7\ne 0,\quad x-5\ne 0. $$
$$ x^2+x-12\le 0 $$
$$ (x+4)(x-3)\le 0 $$
$$ x\in[-4;3]. $$
На этом промежутке $$x-5<0$$ и $$2x-7<0$$, поэтому
$$ (2x-7)(x-5)>0. $$
Тогда знак дроби определяется числителем:
$$ \sqrt{12-x-x^2}(x-2)\le 0. $$
Так как $$\sqrt{12-x-x^2}\ge 0,$$ получаем
$$ x-2\le 0, \quad x\le 2. $$
Пересекаем с ОДЗ:
$$ x\in[-4;2]. $$
$$ \frac{\sqrt{x^2+x-6}+3x+13}{x+5}\le 1 $$
Перенесём единицу влево:
$$ \frac{\sqrt{x^2+x-6}+3x+13-(x+5)}{x+5}\le 0 $$
$$ \frac{\sqrt{x^2+x-6}+2x+8}{x+5}\le 0 $$
$$ \frac{\sqrt{x^2+x-6}+2(x+4)}{x+5}\le 0. $$
Область определения:
$$ x^2+x-6\ge 0 $$
$$ (x+3)(x-2)\ge 0 $$
$$ x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge 2, $$
а также $$x\ne -5$$.
Рассмотрим знак числителя и знаменателя на промежутках ОДЗ.
При $$x\le -3$$ имеем $$x+5<0$$, а числитель неотрицателен только при достаточно малых $$x$$. Проверим границу, где числитель обращается в нуль:
$$ \sqrt{x^2+x-6}+2x+8=0 $$
$$ \sqrt{x^2+x-6}=-2x-8. $$
Правая часть неотрицательна, значит $$x\le -4$$. Возводим в квадрат:
$$ x^2+x-6=4x^2+32x+64 $$
$$ 3x^2+31x+70=0 $$
$$ (3x+10)(x+7)=0 $$
$$ x=-7 \quad \text{или} \quad x=-\frac{10}{3}. $$
С учётом условий получаем промежуток
$$ x\in[-7;-5). $$