Упр.16.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) vx < v(x+1); 3) v(8-5x)?v(x^2-16); 2) v(x^2-3x+1) > v(2x-3); 4) v(x^2-3x+2) < v(2x^2-3x+1).
$$\sqrt{x}<\sqrt{x+1}$$
Возведём обе части в квадрат. Так как корень определён, то
$$x\ge 0,\quad x+1\ge 0.$$
После возведения в квадрат получаем
$$x<x+1,$$
что верно при всех допустимых значениях.
Следовательно,
$$x\in[0;+\infty).$$
$$\sqrt{x^2-3x+1}>\sqrt{2x-3}$$
Область определения:
$$x^2-3x+1\ge 0,\quad 2x-3\ge 0.$$
Так как обе части неравенства неотрицательны, возведём их в квадрат:
$$x^2-3x+1>2x-3,$$
$$x^2-5x+4>0,$$
$$ (x-1)(x-4)>0.$$
Отсюда
$$x<1 \quad \text{или} \quad x>4.$$
С учётом условия $$2x-3\ge 0$$ получаем
$$x>4.$$
$$\sqrt{8-5x}\ge \sqrt{x^2-16}$$
Область определения:
$$8-5x\ge 0,\quad x^2-16\ge 0.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$8-5x\ge x^2-16,$$
$$x^2+5x-24\le 0,$$
$$ (x+8)(x-3)\le 0,$$
$$-8\le x\le 3.$$
Из условия $$x^2-16\ge 0$$ имеем
$$x\le -4 \quad \text{или} \quad x\ge 4.$$
Пересечение множеств:
$$[-8;3]\cap\bigl((-\infty;-4]\cup[4;+\infty)\bigr)=[-8;-4].$$
$$\sqrt{x^2-3x+2}<\sqrt{2x^2-3x+1}$$
Область определения:
$$x^2-3x+2\ge 0,\quad 2x^2-3x+1\ge 0.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^2-3x+2<2x^2-3x+1,$$
$$x^2>1,$$
$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>1.$$
Теперь учтём область определения первого корня:
$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\ge 0,$$
откуда
$$x\le 1 \quad \text{или} \quad x\ge 2.$$
Пересечение даёт
$$(-\infty;-1)\cup[2;+\infty).$$
Ответ
1) $$[0;+\infty)$$; 2) $$ (4;+\infty) $$; 3) $$[-8;-4]$$; 4) $$(-\infty;-1)\cup[2;+\infty)$$.
