Упр.15.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 15.9. Решите уравнение v(2x+3)+v(x+1)=3x+2v(2x^2+5x+3)-16.

Обозначим

$$t=\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}.$$

Тогда

$$t^2=2x+3+2\sqrt{(2x+3)(x+1)}+x+1=3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}.$$

Из исходного уравнения получаем

$$t=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16.$$

Так как

$$2\sqrt{2x^2+5x+3}=t^2-3x-4,$$

то

$$t=3x+t^2-3x-4-16,$$

откуда

$$t^2-t-20=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=1+80=81,$$

$$t_{1,2}=\frac{1\pm 9}{2}.$$

Получаем

$$t_1=-4,\quad t_2=5.$$

Так как $$t=\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}\ge 0,$$ то $$t=-4$$ не подходит. Значит,

$$\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=5.$$

Возводим в квадрат:

$$2x+3+2\sqrt{(2x+3)(x+1)}+x+1=25,$$

$$2\sqrt{2x^2+5x+3}=21-3x.$$

Снова возводим в квадрат:

$$4(2x^2+5x+3)=(21-3x)^2,$$

$$8x^2+20x+12=441-126x+9x^2,$$

$$x^2-146x+429=0.$$

Находим корни:

$$D=146^2-4\cdot 429=19600,$$

$$x_{1,2}=\frac{146\pm 140}{2}.$$

Тогда

$$x_1=3,\quad x_2=143.$$

Проверим условие $$21-3x\ge 0$$, то есть $$x\le 7.$$

Следовательно, $$x=143$$ не подходит, а $$x=3$$ удовлетворяет уравнению.

Ответ

$$3$$