Упр.15.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 15.7. Решите уравнение v(x-1)+v(x+3)+2v((x-1)(x+3))=4-2x.

Обозначим

$$t=\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}.$$

Тогда

$$t^2=(x-1)+2\sqrt{(x-1)(x+3)}+(x+3),$$

откуда

$$2\sqrt{(x-1)(x+3)}=t^2-2x-2.$$

Подставим это в исходное уравнение:

$$t+t^2-2x-2=4-2x,$$

$$t^2+t-6=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=1+24=25,$$

$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{2}.$$

Получаем:

$$t_1=-3,\quad t_2=2.$$

Так как $$t=\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}\ge 0,$$ то значение $$t=-3$$ не подходит.

Остаётся решить уравнение

$$\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}=2.$$

Возведём в квадрат:

$$x-1+2\sqrt{(x-1)(x+3)}+x+3=4,$$

$$2\sqrt{(x-1)(x+3)}=2-2x,$$

$$\sqrt{(x-1)(x+3)}=1-x.$$

Снова возведём в квадрат:

$$ (x-1)(x+3)=(1-x)^2,$$

$$x^2+2x-3=x^2-2x+1,$$

$$4x=4,$$

$$x=1.$$

Проверка: при $$x=1$$ левая часть равна $$0+2+2\cdot 0=2,$$ правая часть тоже равна $$4-2\cdot 1=2.$$

Ответ

$$1$$