Упр.15.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) {x^(1/3)-y^(1/3)=2, xy=27};
2) {v(x/y)+v(y/x)=5/2, x+y=5};
3) {(x+2y)^(1/3)+(x-y+2)^(1/3)=3, 2x+y=7};
4) {v((3x-2y)/2x)+v(2x/(3x-2y))=2, x^2-8y^2=18-18y}.

1. $$\begin{cases} \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}=2,\\ xy=27 \end{cases}$$

   Из второго уравнения выразим $$y$$:

   $$y=\frac{27}{x}, \quad x\ne 0.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{\frac{27}{x}}=2,$$
   $$\sqrt[3]{x}-\frac{3}{\sqrt[3]{x}}=2.$$

   Обозначим $$t=\sqrt[3]{x}$$. Тогда

   $$t-\frac{3}{t}=2,$$
   $$t^2-2t-3=0,$$
   $$(t-3)(t+1)=0.$$

   Отсюда $$t=3$$ или $$t=-1$$.

   Если $$t=3$$, то $$x=27$$, $$y=1$$.
   Если $$t=-1$$, то $$x=-1$$, $$y=-27$$.

   $$(-1;\,-27), \ (27;\,1).$$

2. $$\begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac52,\\ x+y=5 \end{cases}$$

   Пусть $$t=\sqrt{\frac{x}{y}}$$, тогда $$\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac1t$$. Получаем:

   $$t+\frac1t=\frac52,$$
   $$2t^2-5t+2=0.$$

   $$D=25-16=9,$$
   $$t_1=\frac12,\quad t_2=2.$$

   Если $$t=\frac12$$, то $$\frac{x}{y}=\frac14$$, значит $$x=\frac y4$$. Тогда
   $$\frac y4+y=5,$$
   $$\frac54y=5,$$
   $$y=4,\ x=1.$$

   Если $$t=2$$, то $$\frac{x}{y}=4$$, значит $$x=4y$$. Тогда
   $$4y+y=5,$$
   $$5y=5,$$
   $$y=1,\ x=4.$$

   $$(1;\,4), \ (4;\,1).$$

3. $$\begin{cases} \sqrt[3]{x+2y}+\sqrt[3]{x-y+2}=3,\\ 2x+y=7 \end{cases}$$

   Из второго уравнения:

   $$y=7-2x.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$\sqrt[3]{x+2(7-2x)}+\sqrt[3]{x-(7-2x)+2}=3,$$
   $$\sqrt[3]{14-3x}+\sqrt[3]{3x-5}=3.$$

   Обозначим $$t=\sqrt[3]{3x-5}$$. Тогда

   $$\sqrt[3]{14-3x}=\sqrt[3]{t^3-9}.$$

   Получаем:

   $$t+\sqrt[3]{t^3-9}=3,$$
   $$\sqrt[3]{t^3-9}=3-t.$$

   Возведём в куб:

   $$t^3-9=(3-t)^3,$$
   $$t^3-9=27-27t+9t^2-t^3,$$
   $$2t^3-9t^2+27t-36=0.$$

   Удобнее проверить полученные из разложения значения. После преобразований получаем:

   $$t^2-3t+2=0,$$
   $$(t-1)(t-2)=0.$$

   Значит, $$t=1$$ или $$t=2$$.

   Если $$t=1$$, то $$3x-5=1$$, откуда $$x=2$$, $$y=3$$.
   Если $$t=2$$, то $$3x-5=8$$, откуда $$x=\frac{13}{3}$$, $$y=-\frac53$$.

   $$(2;\,3), \ \left(\frac{13}{3};\,-\frac53\right).$$

4. $$\begin{cases} \sqrt{\frac{3x-2y}{2x}}+\sqrt{\frac{2x}{3x-2y}}=2,\\ x^2-8y^2=18-18y \end{cases}$$

   Пусть

   $$t=\sqrt{\frac{3x-2y}{2x}}.$$

   Тогда

   $$t+\frac1t=2,$$
   $$t^2-2t+1=0,$$
   $$(t-1)^2=0,$$
   $$t=1.$$

   Следовательно,

   $$\frac{3x-2y}{2x}=1,$$
   $$3x-2y=2x,$$
   $$x=2y.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$(2y)^2-8y^2=18-18y,$$
   $$-4y^2=18-18y,$$
   $$2y^2-9y+9=0.$$

   $$D=81-72=9,$$
   $$y_1=\frac{9-3}{4}=\frac32,\quad y_2=\frac{9+3}{4}=3.$$

   Тогда $$x_1=2\cdot\frac32=3$$, $$x_2=2\cdot 3=6$$.

   $$(3;\,\frac32), \ (6;\,3).$$

Ответ

1) $$(-1;\,-27), \ (27;\,1)$$;
2) $$(1;\,4), \ (4;\,1)$$;
3) $$(2;\,3), \ \left(\frac{13}{3};\,-\frac53\right)$$;
4) $$(3;\,\frac32), \ (6;\,3)$$.