Упр.15.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) {vx+vy=5, x+y+4v(xy)=37};
2) {x^(1/3)+y^(1/3)=3, xy=8};
3) {(x+y)^(1/4)+(x-y)^(1/4)=4, v(x+y)-v(x-y)=8};
4) {v(4-x+y)+v(9-2x+y)=7, 2y-3x=12}.

Подробный ответ

Обозначим $$a=\sqrt{x},\; b=\sqrt{y}.$$ Тогда система принимает вид
$$ \begin{cases} a+b=5,\\ a^2+b^2+4ab=37. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$b=5-a.$$ Подставим во второе:
$$ a^2+(5-a)^2+4a(5-a)=37. $$
$$ a^2+25-10a+a^2+20a-4a^2=37, $$
$$ -2a^2+10a-12=0,\quad a^2-5a+6=0. $$
$$ (a-2)(a-3)=0, $$
значит, $$a=2$$ или $$a=3.$$ Тогда
$$ (x,y)=(4,9)\ \text{или}\ (9,4). $$
Положим $$u=\sqrt[3]{x},\; v=\sqrt[3]{y}.$$ Тогда
$$ \begin{cases} u+v=3,\\ uv=2, \end{cases} $$
так как $$xy=8 \Rightarrow u^3v^3=8 \Rightarrow (uv)^3=8,$$ откуда $$uv=2.$$
Тогда числа $$u$$ и $$v$$ — корни уравнения
$$ t^2-3t+2=0, $$
$$ (t-1)(t-2)=0. $$
Следовательно, $$\{u,v\}=\{1,2\}.$$ Тогда
$$ (x,y)=(1,8)\ \text{или}\ (8,1). $$
Обозначим
$$ a=\sqrt[4]{x+y},\quad b=\sqrt[4]{x-y}. $$
Тогда система имеет вид
$$ \begin{cases} a+b=4,\\ a-b=2. \end{cases} $$
Складывая уравнения, получаем $$2a=6,$$ значит $$a=3.$$ Тогда $$b=1.$$
Следовательно,
$$ x+y=3^4=81,\quad x-y=1^4=1. $$
Решаем систему:
$$ \begin{cases} x+y=81,\\ x-y=1. \end{cases} $$
$$ x=41,\quad y=40. $$
Из второго уравнения
$$ 2y-3x=12,\quad y=\frac{3}{2}x+6. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ \sqrt{4-x+y}+\sqrt{9-2x+y}=7. $$
После подстановки получаем
$$ \sqrt{10+\frac{x}{2}}+\sqrt{15-\frac{x}{2}}=7. $$
Возведём в квадрат:
$$ 10+\frac{x}{2}+15-\frac{x}{2}+2\sqrt{\left(10+\frac{x}{2}\right)\left(15-\frac{x}{2}\right)}=49, $$
$$ 2\sqrt{150+\frac{5x}{2}-\frac{x^2}{4}}=24, $$
$$ \sqrt{150+\frac{5x}{2}-\frac{x^2}{4}}=12. $$
Тогда
$$ 150+\frac{5x}{2}-\frac{x^2}{4}=144, $$
$$ x^2-10x-24=0. $$
$$ (x-12)(x+2)=0, $$
значит, $$x=12$$ или $$x=-2.$$ Найдём $$y$$:
$$ x=12 \Rightarrow y=24,\qquad x=-2 \Rightarrow y=3. $$
Обе пары подходят.