Упр.15.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) x^2-4x-3v(x^2-4x+20)+10=0; 2) 2v(x^2-3x+11)=4+3x-x^2;
3) v(2x^2-6x+40)=x^2-3x+8; 4) 5x^2+10x+v(x^2+2x-15)=123.

Подробный ответ

$$x^2-4x-3\sqrt{x^2-4x+20}+10=0$$

Сделаем замену:
$$y=\sqrt{x^2-4x+20}.$$
Тогда
$$x^2-4x+20=y^2,$$
и уравнение примет вид
$$y^2-3y-10=0.$$
Решаем:
$$ D= (-3)^2-4\cdot 1\cdot(-10)=9+40=49, $$
$$ y_{1,2}=\frac{3\pm 7}{2}. $$
Получаем:
$$y_1=5,\quad y_2=-2.$$
Так как $$y=\sqrt{x^2-4x+20}\ge 0,$$ значение $$y=-2$$ не подходит.
Тогда
$$\sqrt{x^2-4x+20}=5,$$
$$x^2-4x+20=25,$$
$$x^2-4x-5=0.$$
$$ D=16+20=36,\quad x_{1,2}=\frac{4\pm 6}{2}. $$
$$x_1=-1,\quad x_2=5.$$
$$2\sqrt{x^2-3x+11}=4+3x-x^2$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$2\sqrt{x^2-3x+11}+x^2-3x-4=0.$$
Сделаем замену:
$$y=\sqrt{x^2-3x+11}.$$
Тогда
$$x^2-3x+11=y^2,$$
а значит
$$x^2-3x-4=y^2-15.$$
Получаем:
$$2y+y^2-15=0,$$
$$y^2+2y-15=0.$$
$$ D=2^2-4\cdot 1\cdot(-15)=4+60=64, $$
$$ y_{1,2}=\frac{-2\pm 8}{2}. $$
$$y_1=3,\quad y_2=-5.$$
Так как $$y\ge 0,$$ берём только $$y=3.$$
Тогда
$$\sqrt{x^2-3x+11}=3,$$
$$x^2-3x+11=9,$$
$$x^2-3x+2=0.$$
$$ D=9-8=1,\quad x_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2}. $$
$$x_1=1,\quad x_2=2.$$
$$\sqrt{2x^2-6x+40}=x^2-3x+8$$
Заметим, что
$$x^2-3x+8=\frac{2x^2-6x+40}{2}-12.$$
Сделаем замену:
$$y=\sqrt{2x^2-6x+40}.$$
Тогда
$$2x^2-6x+40=y^2,$$
и уравнение примет вид
$$y=\frac{y^2}{2}-12.$$
Умножим на 2:
$$y^2-2y-24=0.$$
$$ D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-24)=4+96=100, $$
$$ y_{1,2}=\frac{2\pm 10}{2}. $$
$$y_1=-4,\quad y_2=6.$$
Так как $$y\ge 0,$$ берём только $$y=6.$$
Тогда
$$\sqrt{2x^2-6x+40}=6,$$
$$2x^2-6x+40=36,$$
$$2x^2-6x+4=0,$$
$$x^2-3x+2=0.$$
$$ D=9-8=1,\quad x_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2}. $$
$$x_1=1,\quad x_2=2.$$
$$5x^2+10x+\sqrt{x^2+2x-15}=123$$
Перенесём и преобразуем:
$$5(x^2+2x-15)+\sqrt{x^2+2x-15}=48.$$
Сделаем замену:
$$y=\sqrt{x^2+2x-15}.$$
Тогда
$$x^2+2x-15=y^2,$$
и получаем
$$5y^2+y-48=0.$$
$$ D=1^2-4\cdot 5\cdot(-48)=1+960=961, $$
$$ y_{1,2}=\frac{-1\pm 31}{10}. $$
$$y_1=-\frac{16}{5},\quad y_2=3.$$
Так как $$y\ge 0,$$ берём только $$y=3.$$
Тогда
$$\sqrt{x^2+2x-15}=3,$$
$$x^2+2x-15=9,$$
$$x^2+2x-24=0.$$
$$ D=4+96=100,\quad x_{1,2}=\frac{-2\pm 10}{2}. $$
$$x_1=-6,\quad x_2=4.$$