Упр.15.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) v(x^2-3x+5)+x^2=3x+7; 3) 2x^2+6x-3v(x^2+3x-3)=5;
2) v(3x-9x-26)=12+3x-x^2; 4) v(x x^(1/5))+(xvx)^(1/5)=72.

Подробный ответ

$$\sqrt{x^2-3x+5}+x^2=3x+7$$
$$\sqrt{x^2-3x+5}= -x^2+3x+7$$
Возведём в квадрат после замены:
$$y=\sqrt{x^2-3x+5}$$
Тогда
$$y+x^2=3x+7,$$
а также
$$y^2=x^2-3x+5.$$
Из первого уравнения:
$$x^2-3x+5=y^2.$$
Подставим в исходное:
$$y+y^2=12,$$
$$y^2+y-12=0.$$
$$D=1+48=49,$$
$$y_1=\frac{-1-7}{2}=-4,\quad y_2=\frac{-1+7}{2}=3.$$
Так как $$y=\sqrt{x^2-3x+5}\ge 0,$$ значение $$y=-4$$ не подходит.
Тогда
$$\sqrt{x^2-3x+5}=3,$$
$$x^2-3x+5=9,$$
$$x^2-3x-4=0,$$
$$\left(x-4\right)\left(x+1\right)=0.$$
$$x=-1,\quad x=4.$$
$$\sqrt{3x^2-9x-26}=12+3x-x^2$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$\sqrt{3x^2-9x-26}+\frac{x^2-9x-26}{3}=\frac{10}{3}.$$
Обозначим
$$y=\sqrt{3x^2-9x-26}.$$
Тогда
$$y+\frac{1}{3}y^2=\frac{10}{3},$$
$$y^2+3y-10=0.$$
$$D=9+40=49,$$
$$y_1=\frac{-3-7}{2}=-5,\quad y_2=\frac{-3+7}{2}=2.$$
Так как $$y\ge 0,$$ берём $$y=2.$$
Тогда
$$\sqrt{3x^2-9x-26}=2,$$
$$3x^2-9x-26=4,$$
$$3x^2-9x-30=0,$$
$$x^2-3x-10=0,$$
$$\left(x-5\right)\left(x+2\right)=0.$$
$$x=-2,\quad x=5.$$
$$2x^2+6x-3\sqrt{x^2+3x-3}=5$$
$$2\left(x^2+3x-3\right)-3\sqrt{x^2+3x-3}=-1$$
Обозначим
$$y=\sqrt{x^2+3x-3}.$$
Тогда
$$2y^2-3y+1=0.$$
$$D=9-8=1,$$
$$y_1=\frac{3-1}{4}=\frac12,\quad y_2=\frac{3+1}{4}=1.$$
1) Если $$y=\frac12,$$ то
$$\sqrt{x^2+3x-3}=\frac12,$$
$$x^2+3x-3=\frac14,$$
$$4x^2+12x-13=0.$$
$$D=12^2+4\cdot 4\cdot 13=352,$$
$$x=\frac{-12\pm\sqrt{352}}{8}=\frac{-12\pm 4\sqrt{22}}{8}=\frac{-3\pm\sqrt{22}}{2}.$$
2) Если $$y=1,$$ то
$$\sqrt{x^2+3x-3}=1,$$
$$x^2+3x-4=0,$$
$$\left(x+4\right)\left(x-1\right)=0.$$
$$x=-4,\quad x=1.$$
$$\sqrt{x^5\sqrt{x}}+\sqrt[5]{x\sqrt{x}}=72$$
Преобразуем степени:
$$\sqrt{x^5\sqrt{x}}=\sqrt{x^{11/2}}=x^{11/4},\qquad \sqrt[5]{x\sqrt{x}}=\sqrt[5]{x^{3/2}}=x^{3/10}.$$
Удобнее сделать замену:
$$y=\sqrt[10]{x^3},\quad y\ge 0.$$
Тогда уравнение сводится к
$$y^2+y-72=0.$$
$$D=1+288=289,$$
$$y_1=\frac{-1-17}{2}=-9,\quad y_2=\frac{-1+17}{2}=8.$$
Так как $$y\ge 0,$$ берём $$y=8.$$
Тогда
$$\sqrt[10]{x^3}=8,$$
$$x^3=8^{10},$$
$$x=8^{10/3}=1024.$$