Упр.15.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1. $$\sqrt{x^2-3x+5}+x^2=3x+7$$;
2. $$\sqrt{3x-9\sqrt{x}-26}=12+3x-x^2$$;
3. $$2x^2+6x-3\sqrt{x^2+3x-3}=5$$;
4. $$\sqrt{x\sqrt{x}}+(x\sqrt{x})^{\frac{1}{5}}=72$$.

1) Обозначим $$y=\sqrt{x^2-3x+5}.$$ Тогда уравнение примет вид

$$y+x^2=3x+7,$$

или

$$\sqrt{x^2-3x+5}=3x+7-x^2.$$

Перенесём всё в одну сторону и сделаем замену:

$$\sqrt{x^2-3x+5}+x^2-3x-7=0.$$

Удобнее записать так:

$$\sqrt{x^2-3x+5}=3x+7-x^2.$$

Пусть $$y=\sqrt{x^2-3x+5}.$$ Тогда из исходного уравнения получаем

$$y+x^2=3x+7,$$

$$x^2-3x+5=y^2.$$

Подставим $$x^2=3x-7+y$$ в выражение под корнем:

$$y^2=3x-7+y-3x+5=y-2,$$

то есть

$$y^2-y+2=0.$$

Дискриминант:

$$D=1-8=-7<0.$$

Значит, действительных решений нет.

Ответ

Решений нет.

2) Пусть

$$y=\sqrt{3x^2-9x-26}.$$

Тогда

$$y=12+3x-x^2,$$

а значит

$$\sqrt{3x^2-9x-26}=12+3x-x^2.$$

Перенесём и выразим через $$y$$:

$$y+\frac{x^2-9x-26}{3}=\frac{10}{3}.$$

После замены получаем квадратное уравнение

$$3y+y^2=10,$$

$$y^2+3y-10=0.$$

Тогда

$$D=3^2+4\cdot 10=49,$$

$$y_1=\frac{-3-7}{2}=-5,\qquad y_2=\frac{-3+7}{2}=2.$$

Так как $$y=\sqrt{3x^2-9x-26}\ge 0,$$ значение $$y=-5$$ не подходит. Остаётся

$$\sqrt{3x^2-9x-26}=2.$$

Тогда

$$3x^2-9x-26=4,$$

$$3x^2-9x-30=0,$$

$$x^2-3x-10=0,$$

$$\left(x-5\right)\left(x+2\right)=0.$$

Следовательно,

$$x=5 \text{ или } x=-2.$$

Ответ

$$-2;\ 5.$$

3) Обозначим

$$y=\sqrt{x^2+3x-3}.$$

Тогда уравнение

$$2x^2+6x-3\sqrt{x^2+3x-3}=5$$

перепишется так:

$$2(x^2+3x-3)-3y=-1.$$

Так как $$y^2=x^2+3x-3,$$ получаем

$$2y^2-3y+1=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=9-8=1,$$

$$y_1=\frac{3-1}{4}=\frac12,\qquad y_2=\frac{3+1}{4}=1.$$

1) Если $$\sqrt{x^2+3x-3}=\frac12,$$ то

$$x^2+3x-3=\frac14,$$

$$4x^2+12x-13=0.$$

Тогда

$$D=12^2+4\cdot 4\cdot 13=352,$$

$$x=\frac{-12\pm\sqrt{352}}{8}=\frac{-12\pm 4\sqrt{22}}{8}=\frac{-3\pm\sqrt{22}}{2}.$$

2) Если $$\sqrt{x^2+3x-3}=1,$$ то

$$x^2+3x-3=1,$$

$$x^2+3x-4=0,$$

$$\left(x+4\right)\left(x-1\right)=0.$$

Отсюда

$$x=-4 \text{ или } x=1.$$

Ответ

$$-4;\ 1;\ \frac{-3-\sqrt{22}}{2};\ \frac{-3+\sqrt{22}}{2}.$$

4) Пусть

$$y=\sqrt[10]{x^3}.$$

Тогда

$$y^2+y-72=0,$$

где $$y\ge 0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=1+288=289,$$

$$y_1=\frac{-1-17}{2}=-9,\qquad y_2=\frac{-1+17}{2}=8.$$

Так как $$y\ge 0,$$ подходит только $$y=8.$$ Тогда

$$\sqrt[10]{x^3}=8,$$

$$x^3=8^{10}=2^{30},$$

$$x=2^{10}=1024.$$

Ответ

$$1024.$$