Упр.15.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 15.22. Решите уравнение v(x^2+3x-2)+v(x^2-x+1)=4x-3.

Обозначим

$$a=\sqrt{x^2+3x-2}, \qquad b=\sqrt{x^2-x+1}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$a+b=4x-3.$$

Заметим, что

$$a^2-b^2=(x^2+3x-2)-(x^2-x+1)=4x-3.$$

Значит,

$$a+b=a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

Так как $$a+b=4x-3,$$ получаем

$$4x-3=(4x-3)(a-b).$$

Если $$4x-3=0,$$ то $$x=\frac34,$$ но тогда

$$\sqrt{x^2+3x-2}+\sqrt{x^2-x+1}\ne 0,$$

поэтому этот случай не подходит.

Следовательно,

$$a-b=1,$$

то есть

$$\sqrt{x^2+3x-2}-\sqrt{x^2-x+1}=1.$$

Из системы

$$ \begin{cases} \sqrt{x^2+3x-2}+\sqrt{x^2-x+1}=4x-3,\\ \sqrt{x^2+3x-2}-\sqrt{x^2-x+1}=1 \end{cases} $$

получаем

$$2\sqrt{x^2+3x-2}=4x-2,$$

$$\sqrt{x^2+3x-2}=2x-1.$$

Возводим в квадрат:

$$x^2+3x-2=(2x-1)^2=4x^2-4x+1,$$

$$3x^2-7x+3=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=49-36=13,$$

$$x_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{13}}{6}.$$

Проверяем условие $$4x-3\ge 0$$, то есть $$x\ge \frac34.$$

Подходит только корень

$$x=\frac{7+\sqrt{13}}{6}.$$

Ответ

$$\frac{7+\sqrt{13}}{6}$$