Упр.15.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение $$\sqrt{x^2+3x-2}+\sqrt{x^2-x+1}=4x-3$$.

Пусть

$$a=\sqrt{x^2+3x-2}, \qquad b=\sqrt{x^2-x+1}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$a+b=4x-3.$$

Возведём в квадрат:

$$a^2+2ab+b^2=(4x-3)^2.$$

Подставим выражения под корнями:

$$\left(x^2+3x-2\right)+2\sqrt{(x^2+3x-2)(x^2-x+1)}+\left(x^2-x+1\right)=16x^2-24x+9.$$

После преобразований получаем

$$2\sqrt{(x^2+3x-2)(x^2-x+1)}=14x^2-26x+10.$$

Однако удобнее воспользоваться разностью корней. Из исходного уравнения:

$$\sqrt{x^2+3x-2}+\sqrt{x^2-x+1}=4x-3.$$

Перенесём второй корень и возведём в квадрат:

$$\sqrt{x^2+3x-2}=4x-3-\sqrt{x^2-x+1}.$$

Тогда

$$x^2+3x-2=(4x-3)^2-2(4x-3)\sqrt{x^2-x+1}+x^2-x+1,$$

откуда после упрощения

$$2(4x-3)\sqrt{x^2-x+1}=15x^2-23x+8.$$

Но в данном уравнении проще заметить, что при преобразовании к виду

$$\sqrt{x^2+3x-2}-\sqrt{x^2-x+1}=1$$

получаем

$$2\sqrt{x^2+3x-2}=4x-2,$$

то есть

$$\sqrt{x^2+3x-2}=2x-1.$$

Возведём в квадрат:

$$x^2+3x-2=(2x-1)^2=4x^2-4x+1.$$

Тогда

$$3x^2-7x+3=0.$$

Найдём корни:

$$D=49-36=13,$$

$$x_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{13}}{6}.$$

С учётом условия $$x\ge \frac34$$ подходит только

$$x=\frac{7+\sqrt{13}}{6}.$$

Ответ

$$\frac{7+\sqrt{13}}{6}$$