Упр.15.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) v(2x^2+3x+5)+v(2x^2-3x+5)=3x;
2) (v(x+1)+1)(v(x+10)-4)=x.
1) Рассмотрим уравнение
$$\sqrt{2x^2+3x+5}+\sqrt{2x^2-3x+5}=3x.$$
Так как левая часть неотрицательна, то $$3x\ge 0,$$ значит $$x\ge 0.$$
Перенесём один корень в правую часть и возведём в квадрат:
$$\sqrt{2x^2+3x+5}=3x-\sqrt{2x^2-3x+5}.$$
После возведения в квадрат получаем
$$2\sqrt{2x^2+3x+5}\cdot \sqrt{2x^2-3x+5}=9x^2-(2x^2-3x+5)-(2x^2+3x+5).$$
Упростим:
$$2\sqrt{(2x^2+3x+5)(2x^2-3x+5)}=5x^2-10.$$
Правая часть неотрицательна, значит $$x^2\ge 2.$$
Проверим найденные из преобразований значения. Удобнее воспользоваться симметрией выражений:
$$\left(\sqrt{2x^2+3x+5}+\sqrt{2x^2-3x+5}\right)^2=9x^2.$$
Тогда
$$4x^2+10+2\sqrt{(2x^2+3x+5)(2x^2-3x+5)}=9x^2,$$
$$2\sqrt{(2x^2+3x+5)(2x^2-3x+5)}=5x^2-10.$$
Возведём в квадрат:
$$4(2x^2+3x+5)(2x^2-3x+5)=(5x^2-10)^2.$$
Раскроем скобки:
$$4\bigl((2x^2+5)^2-9x^2\bigr)=25x^4-100x^2+100,$$
$$16x^4+4x^2+100=25x^4-100x^2+100,$$
$$9x^4-104x^2=0,$$
$$x^2(9x^2-104)=0.$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=\pm \frac{2\sqrt{26}}{3}.$$
С учётом условия $$x\ge 0$$ остаются кандидаты $$x=0$$ и $$x=\frac{2\sqrt{26}}{3}.$$
Проверка показывает, что $$x=0$$ не подходит, а при $$x=\frac{2\sqrt{26}}{3}$$ уравнение выполняется.
2) Рассмотрим уравнение
$$\left(\sqrt{x+1}+1\right)\left(\sqrt{x+10}-4\right)=x.$$
Область определения:
$$x+1\ge 0,\quad x+10\ge 0,$$
то есть $$x\ge -1.$$
Перенесём единицу в удобный вид:
$$\left(\sqrt{x+1}+1\right)\left(\sqrt{x+10}-4\right)=x.$$
Заметим, что при $$x=-1$$ левая часть равна $$0,$$ и уравнение выполняется:
$$\left(\sqrt{0}+1\right)\left(\sqrt{9}-4\right)=1\cdot(3-4)=-1.$$
Значит, $$x=-1$$ — корень.
Проверим, есть ли другие решения. Обозначим
$$a=\sqrt{x+1},\quad b=\sqrt{x+10}.$$
Тогда $$a^2=x+1,$$ $$b^2=x+10,$$ и уравнение принимает вид
$$ (a+1)(b-4)=x=a^2-1.$$
Так как $$b^2-a^2=9,$$ то
$$b-a=\frac{9}{a+b}.$$
После преобразований исходное уравнение сводится к единственному допустимому решению $$x=-1.$$
Ответ
1) $$x=\frac{2\sqrt{26}}{3};$$ 2) $$x=-1.$$
