Упр.15.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 15.20. Решите уравнение v(6-v(6-x))=x.

Обозначим

$$y=\sqrt{6-x}.$$

Тогда исходное уравнение примет вид

$$\sqrt{6-y}=x.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$y^2=6-x,$$

$$x^2=6-y.$$

Вычтем второе равенство из первого:

$$y^2-x^2=y-x,$$

$$ (y-x)(y+x)=y-x,$$

$$ (y-x)(y+x-1)=0.$$

Отсюда возможны два случая:

1) $$y=x$$;

2) $$y=1-x.$$

1) Пусть $$y=x.$$ Тогда

$$x=\sqrt{6-x}.$$

Возведём в квадрат:

$$x^2=6-x,$$

$$x^2+x-6=0,$$

$$ (x+3)(x-2)=0.$$

Получаем $$x=-3$$ или $$x=2$$. Проверка показывает, что $$x=-3$$ не подходит, а $$x=2$$ подходит.

2) Пусть $$y=1-x.$$ Тогда

$$\sqrt{6-x}=1-x.$$

Так как левая часть неотрицательна, то $$1-x\ge 0$$, то есть $$x\le 1$$.

Возведём в квадрат:

$$6-x=(1-x)^2,$$

$$6-x=1-2x+x^2,$$

$$x^2-x-5=0.$$

Тогда

$$x=\frac{1\pm\sqrt{21}}{2}.$$

С учётом условия $$x\le 1$$ подходит только

$$x=\frac{1-\sqrt{21}}{2}.$$

Но при этом из исходного уравнения требуется также $$x=\sqrt{6-\sqrt{6-x}}$$, и подстановка показывает, что это значение не удовлетворяет исходному уравнению. Следовательно, оно является посторонним.

Итак, единственное решение:

$$x=2.$$

Ответ

$$2$$