Упр.15.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 15.15. Решите уравнение (x+8)^(1/4)-(x-8)^(1/4)=2.

Обозначим $$\sqrt[4]{x-8}=y,$$ тогда $$y\ge 0$$ и $$\sqrt[4]{x+8}=y+2.$$

Возведём второе равенство в четвёртую степень:

$$x+8=(y+2)^4=y^4+8y^3+24y^2+32y+16.$$

Так как $$y^4=x-8,$$ получаем:

$$x+8=x-8+8y^3+24y^2+32y+16,$$

$$8y^3+24y^2+32y=0,$$

$$8y(y^2+3y+4)=0.$$

Отсюда $$y=0$$ или $$y^2+3y+4=0.$$

У квадратного уравнения дискриминант:

$$D=3^2-4\cdot 4=9-16=-7<0,$$

значит, действительных корней у него нет. Тогда остаётся только $$y=0.$$

Возвращаемся к замене:

$$\sqrt[4]{x-8}=0 \Rightarrow x-8=0 \Rightarrow x=8.$$

Проверка:

$$\sqrt[4]{8+8}-\sqrt[4]{8-8}=\sqrt[4]{16}-0=2.$$

Ответ

$$8$$