Упр.15.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) v(x+5)-3(x+5)^(1/4)+2=0; 3) x^2-x+v(x^2-x+4)=2;
2) (9-6x+x^2)^(1/6)+2(3-x)^(1/6)-8=0; 4) v((3x+2)/(2x-3))+v((2x-3)/(3x+2))=2,5.

Подробный ответ

$$\sqrt[4]{x+5}-3\sqrt[4]{x+5}+2=0$$
Пусть $$y=\sqrt[4]{x+5}$$, тогда получаем:
$$y^2-3y+2=0$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 2=1$$
$$y_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2}$$
$$y_1=1,\quad y_2=2$$
Тогда:
$$\sqrt[4]{x+5}=1 \Rightarrow x+5=1 \Rightarrow x=-4$$
$$\sqrt[4]{x+5}=2 \Rightarrow x+5=16 \Rightarrow x=11$$
$$\sqrt[6]{9-6x+x^2}+2\sqrt[6]{3-x}-8=0$$
Заметим, что $$9-6x+x^2=(3-x)^2$$. Пусть $$y=\sqrt[6]{3-x}$$, тогда:
$$\sqrt[6]{(3-x)^2}+2\sqrt[6]{3-x}-8=0$$
$$y^2+2y-8=0$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-8)=36$$
$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 6}{2}$$
$$y_1=-4,\quad y_2=2$$
Так как $$y=\sqrt[6]{3-x}\ge 0$$, значение $$y_1=-4$$ не подходит. Тогда:
$$\sqrt[6]{3-x}=2 \Rightarrow 3-x=64 \Rightarrow x=-61$$
$$x^2-x+\sqrt{x^2-x+4}=2$$
Пусть $$y=\sqrt{x^2-x+4}$$. Тогда $$x^2-x+4=y^2$$, и уравнение принимает вид:
$$y^2+y-6=0$$
$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-6)=25$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{2}$$
$$y_1=-3,\quad y_2=2$$
Так как $$y=\sqrt{x^2-x+4}\ge 0$$, значение $$y_1=-3$$ не подходит. Тогда:
$$\sqrt{x^2-x+4}=2$$
$$x^2-x+4=4$$
$$x^2-x=0$$
$$x(x-1)=0$$
$$x_1=0,\quad x_2=1$$
$$\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}+\sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}}=2{,}5$$
Пусть
$$y=\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}$$
Тогда
$$y+\frac{1}{y}=2{,}5$$
$$2y^2-5y+2=0$$
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=9$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}$$
$$y_1=\frac12,\quad y_2=2$$
1) Если $$y=\frac12$$, то
$$\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}=\frac12$$
$$\frac{3x+2}{2x-3}=\frac14$$
$$4(3x+2)=2x-3$$
$$12x+8=2x-3$$
$$10x=-11$$
$$x=-1{,}1$$
2) Если $$y=2$$, то
$$\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}=2$$
$$\frac{3x+2}{2x-3}=4$$
$$3x+2=8x-12$$
$$5x=14$$
$$x=2{,}8$$