Упр.15.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 15.19. Решите уравнение v(2-v(2-x))=x.

Обозначим

$$y=\sqrt{2-x}.$$

Тогда исходное уравнение примет вид

$$\sqrt{2-y}=x.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$y^2=2-x,\qquad x^2=2-y.$$

Вычтем второе равенство из первого:

$$y^2-x^2=y-x.$$

$$ (y-x)(y+x)=y-x.$$

$$ (y-x)(y+x-1)=0.$$

Отсюда возможны два случая:

1. $$y=x.$$ Тогда

   $$x=\sqrt{2-x},$$

   $$x^2+x-2=0,$$

   $$ (x+2)(x-1)=0,$$

   $$x=-2 \text{ или } x=1.$$

   Проверка: при $$x=-2$$ левая часть не определена, так как $$\sqrt{2-(-2)}=2$$ и $$\sqrt{2-2}=0\neq -2$$. Значит, $$x=-2$$ не подходит. При $$x=1$$ получаем

   $$\sqrt{2-\sqrt{2-1}}=\sqrt{2-1}=1,$$

   то есть это корень.

2. $$y+x=1.$$ Тогда

   $$\sqrt{2-x}+x=1.$$

   Положим $$t=\sqrt{2-x}$$, тогда $$x=1-t$$ и

   $$t=\sqrt{2-(1-t)}=\sqrt{1+t}.$$

   Возведём в квадрат:

   $$t^2=1+t,$$

   $$t^2-t-1=0.$$

   Но из условия $$t=\sqrt{2-x}\ge 0$$ и $$x=1-t$$. Проверим корни уравнения:

   $$t=\frac{1\pm\sqrt5}{2}.$$

   Подходит только $$t=\frac{1+\sqrt5}{2}$$, тогда

   $$x=1-\frac{1+\sqrt5}{2}=\frac{1-\sqrt5}{2}<0.$$

   Проверка в исходном уравнении показывает, что это значение не подходит.

Следовательно, единственный корень уравнения:

$$x=1.$$

Ответ

$$1$$