Упр.15.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 15.17. Решите уравнение (x-2)^(1/3)+v(x-1)=5.

Обозначим

$$a=\sqrt[3]{x-2}, \quad b=\sqrt{x-1}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$a+b=5, \quad b=5-a.$$

Возведём оба выражения в куб и квадрат соответственно:

$$a^3=x-2, \quad b^2=x-1.$$

Вычтем первое равенство из второго:

$$b^2-a^3=(x-1)-(x-2)=1.$$

Подставим $b=5-a$:

$$ (5-a)^2-a^3=1.$$

Получаем

$$a^3-a^2+10a-24=0.$$

Проверим целый корень: при $a=2$

$$2^3-2^2+10\cdot 2-24=8-4+20-24=0.$$

Значит, $a=2$ — корень уравнения. Разложим многочлен на множители:

$$a^3-a^2+10a-24=(a-2)(a^2+a+12).$$

Так как

$$D=1-48=-47<0,$$

то квадратный множитель действительных корней не имеет. Следовательно,

$$a=2.$$

Тогда

$$b=5-a=3.$$

Возвращаемся к переменной $x$:

$$\sqrt[3]{x-2}=2 \Rightarrow x-2=8 \Rightarrow x=10.$$

Проверка:

$$\sqrt[3]{10-2}+\sqrt{10-1}=2+3=5.$$

Ответ

$$10$$