Упр.15.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 15.16. Решите уравнение (18+5x)^(1/4)+(64-5x)^(1/4)=4.

Обозначим

$$a=\sqrt[4]{18+5x}, \quad b=\sqrt[4]{64-5x}.$$

Тогда

$$a+b=4,$$

а также

$$a^4+b^4=18+64=82.$$

Используем формулу

$$a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2.$$

Так как $$a+b=4,$$ то

$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=16-2ab.$$

Подставим в равенство:

$$ (16-2ab)^2-2a^2b^2=82. $$

Раскроем скобки:

$$256-64ab+4a^2b^2-2a^2b^2=82,$$

$$2a^2b^2-64ab+174=0,$$

$$a^2b^2-32ab+87=0.$$

Обозначим $$t=ab.$$ Тогда

$$t^2-32t+87=0.$$

Найдём корни:

$$D=32^2-4\cdot 87=1024-348=676,$$

$$t_{1,2}=\frac{32\pm 26}{2}.$$

Получаем

$$t_1=3,\quad t_2=29.$$

Рассмотрим оба случая.

1) $$ab=3.$$ Тогда

$$b=\frac{3}{a}, \quad a+\frac{3}{a}=4.$$

Умножим на $$a$$:

$$a^2-4a+3=0,$$

$$D=16-12=4,$$

$$a_1=1,\quad a_2=3.$$

Если $$a=1,$$ то

$$18+5x=1,$$

$$5x=-17,$$

$$x=-\frac{17}{5}.$$

Если $$a=3,$$ то

$$18+5x=81,$$

$$5x=63,$$

$$x=\frac{63}{5}.$$

2) $$ab=29.$$ Тогда

$$b=\frac{29}{a}, \quad a+\frac{29}{a}=4,$$

или

$$a^2-4a+29=0.$$

Но

$$D=16-116=-100<0,$$

значит, действительных решений нет.

Ответ

$$x=-\frac{17}{5},\ \frac{63}{5}.$$