Упр.15 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=(1-x)/(1+x);
2) y={v(x-2), если x?3; 2x-5, если x < 3}.

1. Пусть $$y=\frac{1-x}{1+x}.$$ Найдём выражение для $$x$$ через $$y$$:

   $$y(1+x)=1-x$$
   $$y+xy=1-x$$
   $$xy+x=1-y$$
   $$x(y+1)=1-y$$
   $$x=\frac{1-y}{1+y}.$$

   Заменяя $$y$$ на $$x$$, получаем обратную функцию:

   $$y=\frac{1-x}{1+x}.$$

2. Рассмотрим функцию

   $$y= \begin{cases} \sqrt{x-2}, & x\ge 3,\\ 2x-5, & x<3. \end{cases}$$

   1) Если $$x\ge 3$$, то

   $$y=\sqrt{x-2}, \quad y\ge \sqrt{3-2}=1,$$
   $$x=y^2+2.$$

   Значит, для обратной функции при $$x\ge 1$$ имеем $$y=x^2+2.$$

   2) Если $$x<3$$, то

   $$y=2x-5, \quad y<2\cdot 3-5=1,$$
   $$x=\frac{y+5}{2}.$$

   Значит, для обратной функции при $$x<1$$ имеем $$y=\frac{x+5}{2}.$$

Ответ

1) $$y=\frac{1-x}{1+x}$$;

2) $$y= \begin{cases} x^2+2, & x\ge 1,\\ \frac{x+5}{2}, & x<1. \end{cases}$$