Упр.15.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 15.14. Решите уравнение (x+4)^(2/3)+(x-5)^(2/3)+((x+4)(x-5))^(1/3)=3.

Обозначим:

$$a=\sqrt[3]{x+4}, \qquad b=\sqrt[3]{x-5}.$$

Тогда уравнение примет вид:

$$a^2+b^2+ab=3.$$

Кроме того,

$$a^3-b^3=(x+4)-(x-5)=9.$$

Используем формулу разности кубов:

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$

Тогда

$$9=(a-b)\cdot 3,$$

откуда

$$a-b=3.$$

Пусть $$b=a-3$$. Подставим в уравнение:

$$a^2+(a-3)^2+a(a-3)=3.$$

Раскроем скобки:

$$a^2+a^2-6a+9+a^2-3a=3,$$

$$3a^2-9a+6=0,$$

$$a^2-3a+2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$a^2-3a+2=(a-1)(a-2)=0.$$

Следовательно,

$$a=1 \quad \text{или} \quad a=2.$$

1) Если $$a=1$$, то

$$\sqrt[3]{x+4}=1,$$

$$x+4=1,$$

$$x=-3.$$

2) Если $$a=2$$, то

$$\sqrt[3]{x+4}=2,$$

$$x+4=8,$$

$$x=4.$$

Ответ

$$-3;\ 4.$$