Упр.15.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 15.13. Решите уравнение (x+3)^(2/3)+(6-x)^(2/3)-((x+3)(6-x))^(1/3)=3.

Обозначим:

$$a=\sqrt[3]{x+3}, \qquad b=\sqrt[3]{6-x}.$$

Тогда уравнение примет вид:

$$a^2+b^2-ab=3.$$

Кроме того,

$$a^3+b^3=(x+3)+(6-x)=9.$$

Используем формулу суммы кубов:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$

Тогда

$$9=(a+b)\cdot 3,$$

откуда

$$a+b=3.$$

Пусть $$b=3-a$$. Подставим в равенство $$a^2+b^2-ab=3$$:

$$a^2+(3-a)^2-a(3-a)=3,$$

$$a^2+9-6a+a^2-3a+a^2=3,$$

$$3a^2-9a+6=0,$$

$$a^2-3a+2=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1,$$

$$a_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2}.$$

Получаем:

$$a_1=1, \qquad a_2=2.$$

1) Если $$\sqrt[3]{x+3}=1,$$ то

$$x+3=1,$$

$$x=-2.$$

2) Если $$\sqrt[3]{x+3}=2,$$ то

$$x+3=8,$$

$$x=5.$$

Ответ

$$-2;\ 5.$$