Упр.15.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 15.12. Решите уравнение 6x^2-5xv(x+3)+x+3=0.

Пусть

$$t=\frac{\sqrt{x+3}}{x}.$$

Тогда уравнение

$$6x^2-5x\sqrt{x+3}+x+3=0$$

можно переписать в виде

$$6-5\frac{\sqrt{x+3}}{x}+\left(\frac{\sqrt{x+3}}{x}\right)^2=0,$$

то есть

$$t^2-5t+6=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$t^2-5t+6=0$$

$$D=25-24=1,$$

$$t_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad t_2=\frac{5+1}{2}=3.$$

Теперь рассмотрим оба случая.

1. $$\frac{\sqrt{x+3}}{x}=2.$$

   Тогда

   $$\sqrt{x+3}=2x,$$

   $$x+3=4x^2,$$

   $$4x^2-x-3=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=1+48=49,$$

   $$x=\frac{1\pm 7}{8}.$$

   Получаем

   $$x_1=-\frac{3}{4},\qquad x_2=1.$$

   Так как $$\frac{\sqrt{x+3}}{x}=2>0,$$ то $$x>0.$$

   Подходит только $$x=1.$$

2. $$\frac{\sqrt{x+3}}{x}=3.$$

   Тогда

   $$\sqrt{x+3}=3x,$$

   $$x+3=9x^2,$$

   $$9x^2-x-3=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=1+108=109,$$

   $$x=\frac{1\pm \sqrt{109}}{18}.$$

   Так как $$\frac{\sqrt{x+3}}{x}=3>0,$$ то $$x>0.$$

   Подходит только

   $$x=\frac{1+\sqrt{109}}{18}.$$

Ответ

$$1;\ \frac{1+\sqrt{109}}{18}.$$