Упр.15.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 15.11. Решите уравнение 4x^2+12xv(1+x)=27(1+x).

Пусть

$$t=\frac{\sqrt{1+x}}{x}.$$

Тогда исходное уравнение

$$4x^2+12x\sqrt{1+x}=27(1+x)$$

можно переписать так:

$$4+12\cdot \frac{\sqrt{1+x}}{x}=27\left(\frac{\sqrt{1+x}}{x}\right)^2,$$

то есть

$$27t^2-12t-4=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=12^2+4\cdot 27\cdot 4=144+432=576,$$

$$t_{1,2}=\frac{12\pm 24}{2\cdot 27}.$$

Получаем:

$$t_1=-\frac{2}{9}, \qquad t_2=\frac{2}{3}.$$

1) Если $$\frac{\sqrt{1+x}}{x}=-\frac{2}{9},$$ то

$$9\sqrt{1+x}=-2x.$$

Возведём в квадрат:

$$81(1+x)=4x^2,$$

$$4x^2-81x-81=0.$$

Тогда

$$D=81^2+4\cdot 4\cdot 81=6561+1296=7857,$$

$$x=\frac{81\pm \sqrt{7857}}{8}=\frac{81\pm 9\sqrt{97}}{8}.$$

С учётом условия $$\frac{\sqrt{1+x}}{x}<0$$ подходит только

$$x=\frac{81-9\sqrt{97}}{8}.$$

2) Если $$\frac{\sqrt{1+x}}{x}=\frac{2}{3},$$ то

$$3\sqrt{1+x}=2x.$$

Возведём в квадрат:

$$9(1+x)=4x^2,$$

$$4x^2-9x-9=0.$$

Тогда

$$D=9^2+4\cdot 4\cdot 9=81+144=225,$$

$$x=\frac{9\pm 15}{8}.$$

Получаем корни:

$$x_1=-\frac{3}{4}, \qquad x_2=3.$$

С учётом условия $$\frac{\sqrt{1+x}}{x}>0$$ подходит только

$$x=3.$$

Ответ

$$3;\ \frac{81-9\sqrt{97}}{8}.$$