Упр.15.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 15.10. Решите уравнение x^2/v(2x+5)+v(2x+5)=2x.

ОДЗ: $$2x+5>0,$$ то есть $$x>-\frac52.$$

Разделим обе части уравнения на $$x$$ и введём замену:

$$\frac{x}{\sqrt{2x+5}}+\frac{\sqrt{2x+5}}{x}=2,$$

$$t=\frac{x}{\sqrt{2x+5}}.$$

Тогда получаем:

$$t+\frac1t=2.$$

Умножим на $$t$$:

$$t^2-2t+1=0,$$

$$\left(t-1\right)^2=0,$$

откуда $$t=1.$$

Возвращаемся к замене:

$$\frac{x}{\sqrt{2x+5}}=1,$$

$$x=\sqrt{2x+5}.$$

Возведём в квадрат:

$$x^2=2x+5,$$

$$x^2-2x-5=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-5)=4+20=24,$$

$$x=\frac{2\pm\sqrt{24}}{2}=1\pm\sqrt6.$$

Проверим корни с учётом условия $$x=\sqrt{2x+5}$$: подходит только положительный корень $$x=1+\sqrt6.$$

Ответ

$$1+\sqrt6$$