Упр.15.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) 2v(x+1)-5=3/v(x+1); 3) v((x+5)/(x-1))+7v((x-1)/(x+5))=8;
2) x^2-x+9+v(x^2-x+9)=12; 4) (x x^(1/3)-1)/(x^(2/3)-1)-(x^(2/3)-1)/(x^(1/3)+1)=4.

Подробный ответ

$$2\sqrt{x+1}-5=\frac{3}{\sqrt{x+1}}.$$
Пусть $$y=\sqrt{x+1}$$, тогда $$y>0$$ и получаем:
$$2y-5=\frac{3}{y}.$$
Умножим на $$y$$:
$$2y^2-5y-3=0.$$
$$D=25+24=49,$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{4}.$$
Тогда $$y_1=-\frac12$$ не подходит, так как $$y>0$$, а
$$y_2=3.$$
Следовательно,
$$\sqrt{x+1}=3,$$
$$x+1=9,$$
$$x=8.$$
$$x^2-x+9+\sqrt{x^2-x+9}=12.$$
Пусть $$y=\sqrt{x^2-x+9}$$, тогда $$y\ge 0$$ и
$$y^2+y-12=0.$$
$$D=1+48=49,$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}.$$
Получаем $$y_1=-4$$ — не подходит, а $$y_2=3.$$
Тогда
$$\sqrt{x^2-x+9}=3,$$
$$x^2-x+9=9,$$
$$x^2-x=0,$$
$$x(x-1)=0.$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=1.$$
$$\sqrt{\frac{x+5}{x-1}}+7\sqrt{\frac{x-1}{x+5}}=8.$$
Пусть
$$y=\sqrt{\frac{x+5}{x-1}},$$
тогда
$$\sqrt{\frac{x-1}{x+5}}=\frac{1}{y},$$
и уравнение принимает вид
$$y+\frac{7}{y}=8.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-8y+7=0.$$
$$D=64-28=36,$$
$$y_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}.$$
Получаем $$y_1=1$$ и $$y_2=7.$$
1) Если $$y=1$$, то
$$\sqrt{\frac{x+5}{x-1}}=1,$$
$$\frac{x+5}{x-1}=1,$$
$$x+5=x-1,$$
что невозможно.
2) Если $$y=7$$, то
$$\sqrt{\frac{x+5}{x-1}}=7,$$
$$\frac{x+5}{x-1}=49,$$
$$x+5=49x-49,$$
$$48x=54,$$
$$x=\frac{9}{8}.$$
$$\frac{x\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x^2}-1}-\frac{\sqrt[3]{x^2}-1}{\sqrt[3]{x}+1}=4.$$
Пусть $$y=\sqrt[3]{x}$$, тогда $$x=y^3$$, $$\sqrt[3]{x^2}=y^2$$ и уравнение имеет вид
$$\frac{y^4-1}{y^2-1}-\frac{y^2-1}{y+1}=4.$$
Так как
$$y^4-1=(y^2-1)(y^2+1),$$
то при $$y\ne \pm 1$$ получаем:
$$y^2+1-(y-1)=4,$$
$$y^2-y-2=0.$$
$$D=1+8=9,$$
$$y_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}.$$
Отсюда $$y_1=-1$$ не подходит, а $$y_2=2.$$
Тогда
$$\sqrt[3]{x}=2,$$
$$x=8.$$