Упр.15.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Решите уравнение, используя метод замены переменной:
- 1) $$2\sqrt{x+1}-5=\frac{3}{\sqrt{x+1}}$$;
3) $$\sqrt{\frac{x+5}{x-1}}+7\sqrt{\frac{x-1}{x+5}}=8$$;
2) $$x^2-x+9+\sqrt{x^2-x+9}=12$$;
4) $$\frac{x\sqrt[3]{x}-1}{x^{2/3}-1}-\frac{x^{2/3}-1}{\sqrt[3]{x}+1}=4$$.
1) Введём замену $$y=\sqrt{x+1}.$$ Тогда уравнение принимает вид
$$2y-5=\frac{3}{y}.$$
Умножим на $$y$$:
$$2y^2-5y=3,$$
$$2y^2-5y-3=0.$$
Найдём корни:
$$D=25+24=49,$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{4}.$$
Получаем:
$$y_1=-\frac12,\quad y_2=3.$$
Так как $$y=\sqrt{x+1}\ge 0,$$ значение $$y_1=-\frac12$$ не подходит. Тогда
$$\sqrt{x+1}=3,$$
$$x+1=9,$$
$$x=8.$$
Ответ: $$8.$$
2) Введём замену $$y=\sqrt{x^2-x+9}.$$ Тогда
$$y^2+y-12=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=1+48=49,$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}.$$
Получаем:
$$y_1=-4,\quad y_2=3.$$
Так как $$y=\sqrt{x^2-x+9}\ge 0,$$ значение $$y_1=-4$$ не подходит. Тогда
$$\sqrt{x^2-x+9}=3,$$
$$x^2-x+9=9,$$
$$x^2-x=0,$$
$$x(x-1)=0.$$
Отсюда
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=1.$$
Ответ: $$0; 1.$$
3) Введём замену
$$y=\sqrt{\frac{x+5}{x-1}}.$$
Тогда
$$y+\frac{7}{y}=8.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-8y+7=0.$$
Решим уравнение:
$$D=64-28=36,$$
$$y_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}.$$
Получаем:
$$y_1=1,\quad y_2=7.$$
1) Если $$y=1,$$ то
$$\sqrt{\frac{x+5}{x-1}}=1,$$
$$\frac{x+5}{x-1}=1,$$
$$x+5=x-1,$$
что невозможно.
2) Если $$y=7,$$ то
$$\sqrt{\frac{x+5}{x-1}}=7,$$
$$\frac{x+5}{x-1}=49,$$
$$x+5=49x-49,$$
$$48x=54,$$
$$x=\frac{9}{8}.$$
Ответ: $$\frac{9}{8}.$$
4) Введём замену $$y=\sqrt[3]{x}.$$ Тогда
$$\sqrt[3]{x^2}=y^2,\qquad x=y^3.$$
Уравнение принимает вид
$$\frac{y^4-1}{y^2-1}-\frac{y^2-1}{y+1}=4.$$
Так как $$y^4-1=(y^2-1)(y^2+1),$$ то при $$y\ne \pm 1$$ имеем
$$y^2+1-\frac{y^2-1}{y+1}=4.$$
Поскольку $$y^2-1=(y-1)(y+1),$$ получаем
$$y^2+1-(y-1)=4,$$
$$y^2-y-2=0.$$
Решим:
$$D=1+8=9,$$
$$y_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}.$$
Тогда
$$y_1=-1,\quad y_2=2.$$
Значение $$y=-1$$ не подходит, так как обращает в нуль знаменатель $$y^2-1.$$
При $$y=2$$ получаем
$$x=y^3=2^3=8.$$
Ответ: $$8.$$
