Упр.14.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v(2x+5)-v(3x-5)=2;
2) v(x+11)-v(2x+1)=2.

1. $$\sqrt{2x+5}-\sqrt{3x-5}=2$$

   Перенесём второй корень вправо:

   $$\sqrt{2x+5}=2+\sqrt{3x-5}$$

   Возведём в квадрат:

   $$2x+5=4+4\sqrt{3x-5}+3x-5$$

   $$4\sqrt{3x-5}=6-x$$

   Снова возведём в квадрат:

   $$16(3x-5)=(6-x)^2$$

   $$48x-80=36-12x+x^2$$

   $$x^2-60x+116=0$$

   $$D=60^2-4\cdot 1\cdot 116=3136$$

   $$x_{1,2}=\frac{60\pm 56}{2}$$

   $$x_1=2,\quad x_2=58$$

   Проверим область допустимых значений:

   $$2x+5\ge 0,\quad 3x-5\ge 0,\quad 6-x\ge 0$$

   Отсюда $$x\ge \frac53$$ и $$x\le 6$$, значит подходит только $$x=2$$.

2. $$\sqrt{x+11}-\sqrt{2x+1}=2$$

   Перенесём второй корень вправо:

   $$\sqrt{x+11}=2+\sqrt{2x+1}$$

   Возведём в квадрат:

   $$x+11=4+4\sqrt{2x+1}+2x+1$$

   $$4\sqrt{2x+1}=6-x$$

   Снова возведём в квадрат:

   $$16(2x+1)=(6-x)^2$$

   $$32x+16=36-12x+x^2$$

   $$x^2-44x+20=0$$

   $$D=44^2-4\cdot 20=1856=16\cdot 116$$

   $$x_{1,2}=\frac{44\pm \sqrt{1856}}{2}=22\pm 2\sqrt{116}=22\pm 4\sqrt{29}$$

   Проверим область допустимых значений:

   $$x+11\ge 0,\quad 2x+1\ge 0,\quad 6-x\ge 0$$

   То есть $$x\ge -\frac12$$ и $$x\le 6$$. Подходит только корень

   $$x=22-4\sqrt{29}$$

Ответ

1) $$2$$; 2) $$22-4\sqrt{29}$$.