Упр.14.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v(1+xv(x^2+24))=x+1;
2) v(1+xv(x^2-24))=x-1.

1. $$\sqrt{1+x\sqrt{x^2+24}}=x+1$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$1+x\sqrt{x^2+24}=x^2+2x+1$$

   $$x\sqrt{x^2+24}=x^2+2x$$

   Рассмотрим случай $$x=0$$. Тогда исходное уравнение верно.

   Если $$x\ne 0$$, разделим на $$x$$:

   $$\sqrt{x^2+24}=x+2$$

   Снова возведём в квадрат:

   $$x^2+24=x^2+4x+4$$

   $$4x=20$$

   $$x=5$$

   Проверка показывает, что оба значения подходят.

2. $$\sqrt{1+x\sqrt{x^2-24}}=x-1$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$1+x\sqrt{x^2-24}=x^2-2x+1$$

   $$x\sqrt{x^2-24}=x^2-2x$$

   Рассмотрим случай $$x=0$$. Он не подходит, так как подкоренное выражение $$x^2-24<0$$.

   Если $$x\ne 0$$, разделим на $$x$$:

   $$\sqrt{x^2-24}=x-2$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x^2-24=x^2-4x+4$$

   $$4x=28$$

   $$x=7$$

   Проверка: $$\sqrt{49-24}=5$$, $$7-2=5$$, значит, корень подходит.

Ответ

1) $$0,\,5$$; 2) $$7$$.