Упр.14.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) v((2x+3)(x-4))=x-4; 3) (x+2)v(x^2-x-20)=6x+12;
2) v((x-2)(2x-5))+2=x; 4) (x+1)v(x^2-5x+5)=x+1.

Подробный ответ

$$\sqrt{(2x+3)(x-4)}=x-4$$
Возведём обе части в квадрат:
$$ (2x+3)(x-4)=(x-4)^2 $$
$$ (x-4)\bigl(2x+3-(x-4)\bigr)=0 $$
$$ (x-4)(x+7)=0 $$
Отсюда $$x=4$$ или $$x=-7$$.
Проверим ОДЗ: правая часть $$x-4\ge 0$$, значит $$x\ge 4$$. Подходит только $$x=4$$.
$$\sqrt{(x-2)(2x-5)}+2=x$$
$$\sqrt{(x-2)(2x-5)}=x-2$$
Возведём обе части в квадрат:
$$(x-2)(2x-5)=(x-2)^2$$
$$(x-2)\bigl(2x-5-(x-2)\bigr)=0$$
$$(x-2)(x-3)=0$$
Получаем $$x=2$$ или $$x=3$$.
Проверка ОДЗ: $$x-2\ge 0$$, значит $$x\ge 2$$. Оба корня подходят.
Но из исходного уравнения при $$x=2$$ левая часть равна $$2$$, правая тоже равна $$2$$; при $$x=3$$ левая часть равна $$3$$, правая тоже равна $$3$$. Значит, оба корня верны.
$$(x+2)\sqrt{x^2-x-20}=6x+12$$
$$ (x+2)\sqrt{x^2-x-20}=6(x+2) $$
$$ (x+2)\bigl(\sqrt{x^2-x-20}-6\bigr)=0 $$
Рассмотрим случаи:
1) $$x+2=0$$, тогда $$x=-2$$.
2) $$\sqrt{x^2-x-20}=6$$, тогда
$$x^2-x-20=36$$
$$x^2-x-56=0$$
$$D=1+224=225$$
$$x=\frac{1\pm 15}{2}$$
$$x_1=-7,\quad x_2=8$$
Проверим ОДЗ: $$x^2-x-20\ge 0$$, то есть $$(x-5)(x+4)\ge 0$$, откуда $$x\le -4$$ или $$x\ge 5$$. Число $$x=-2$$ не подходит, а $$x=-7$$ и $$x=8$$ подходят.
$$(x+1)\sqrt{x^2-5x+5}=x+1$$
$$ (x+1)\bigl(\sqrt{x^2-5x+5}-1\bigr)=0 $$
Рассмотрим случаи:
1) $$x+1=0$$, тогда $$x=-1$$.
2) $$\sqrt{x^2-5x+5}=1$$, тогда
$$x^2-5x+5=1$$
$$x^2-5x+4=0$$
$$D=25-16=9$$
$$x=\frac{5\pm 3}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=4$$
Все найденные значения удовлетворяют исходному уравнению.