Упр.14.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Решите уравнение:
- 1) $$\sqrt{10-3x}=-x$$; 3) $$\sqrt{x+2}=1-x$$; 2) $$\sqrt{2x^2+5x+4}=2x+2$$; 4) $$x-\sqrt{3x^2-11x-20}=5$$.
1) $$\sqrt{10-3x}=-x.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$10-3x=x^2,$$
$$x^2+3x-10=0.$$
$$D=3^2+4\cdot 10=49,$$
$$x_1=\frac{-3-7}{2}=-5,\qquad x_2=\frac{-3+7}{2}=2.$$
Проверим область допустимых значений: $$-x\ge 0,\quad 10-3x\ge 0.$$
Подходит только $$x=-5.$$
2) $$\sqrt{2x^2+5x+4}=2x+2.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$2x^2+5x+4=4x^2+8x+4,$$
$$2x^2+3x=0,$$
$$x(2x+3)=0.$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=-\frac32.$$
Но правая часть должна быть неотрицательной: $$2x+2\ge 0,\quad x\ge -1.$$
Значит, подходит только $$x=0.$$
3) $$\sqrt{x+2}=1-x.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x+2=(1-x)^2,$$
$$x+2=1-2x+x^2,$$
$$x^2-3x-1=0.$$
$$D=3^2+4=13,$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}.$$
С учётом условий $$x+2\ge 0$$ и $$1-x\ge 0$$ получаем, что подходит только
$$x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}.$$
4) $$x-\sqrt{3x^2-11x-20}=5.$$
Перенесём корень вправо:
$$x-5=\sqrt{3x^2-11x-20}.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^2-10x+25=3x^2-11x-20,$$
$$2x^2-x-45=0.$$
$$D=1+360=361,$$
$$x_1=\frac{1-19}{4}=-\frac92,\qquad x_2=\frac{1+19}{4}=5.$$
Так как $$x-5\ge 0,$$ то $$x\ge 5.$$
Подходит только $$x=5.$$
Ответ
1) $$-5$$; 2) $$0$$; 3) $$\frac{3-\sqrt{13}}{2}$$; 4) $$5$$.
