Упр.14.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) v(2-x)=x; 4) v(x^2-1)=3-2x;
2) v(x+1)=x-1; 5) x-v(2x^2+x-21)=3;
3) v(3x-2)=x; 6) x+2+v(8-3x-x^2)=0.

Подробный ответ

$$\sqrt{2-x}=x$$

Возведём обе части в квадрат:
$$2-x=x^2$$
$$x^2+x-2=0$$
$$\left(x+2\right)\left(x-1\right)=0$$
$$x_1=-2,\quad x_2=1$$
Проверим ОДЗ: $$2-x\ge 0,\ x\ge 0$$, значит $$0\le x\le 2$$.
Подходит только $$x=1$$.
$$\sqrt{x+1}=x-1$$

Возведём обе части в квадрат:
$$x+1=x^2-2x+1$$
$$x^2-3x=0$$
$$x\left(x-3\right)=0$$
$$x_1=0,\quad x_2=3$$
Проверим ОДЗ: $$x+1\ge 0,\ x-1\ge 0$$, значит $$x\ge 1$$.
Подходит только $$x=3$$.
$$\sqrt{3x-2}=x$$

Возведём обе части в квадрат:
$$3x-2=x^2$$
$$x^2-3x+2=0$$
$$\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0$$
$$x_1=1,\quad x_2=2$$
Проверим ОДЗ: $$3x-2\ge 0,\ x\ge 0$$, значит $$x\ge \frac{2}{3}$$.
Оба корня подходят.
$$\sqrt{x^2-1}=3-2x$$

Возведём обе части в квадрат:
$$x^2-1=9-12x+4x^2$$
$$3x^2-12x+10=0$$
$$D=144-120=24$$
$$x=\frac{12\pm\sqrt{24}}{6}=\frac{6\pm\sqrt{6}}{3}$$
Проверим ОДЗ:
$$x^2-1\ge 0,\quad 3-2x\ge 0$$
Отсюда $$x\le -1$$ или $$x\ge 1$$, а также $$x\le \frac{3}{2}$$.
Подходит только
$$x=\frac{6-\sqrt{6}}{3}$$.
$$x-\sqrt{2x^2+x-21}=3$$

Перенесём корень:
$$\sqrt{2x^2+x-21}=x-3$$
Тогда $$x-3\ge 0$$, то есть $$x\ge 3$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$2x^2+x-21=x^2-6x+9$$
$$x^2+7x-30=0$$
$$\left(x+10\right)\left(x-3\right)=0$$
$$x_1=-10,\quad x_2=3$$
С учётом $$x\ge 3$$ подходит только $$x=3$$.
$$x+2+\sqrt{8-3x-x^2}=0$$

Перенесём корень:
$$\sqrt{8-3x-x^2}=-(x+2)$$
Значит $$x+2\le 0$$, то есть $$x\le -2$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$8-3x-x^2=x^2+4x+4$$
$$2x^2+7x-4=0$$
$$D=49+32=81$$
$$x=\frac{-7\pm 9}{4}$$
$$x_1=-4,\quad x_2=\frac{1}{2}$$
С учётом $$x\le -2$$ подходит только $$x=-4$$.