Упр.14.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Решите уравнение:
- 1) $$\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}+\sqrt{x+7-6\sqrt{x-2}}=6$$;
2) $$\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1$$;
3) $$\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+6-4\sqrt{x+1}}=4$$.
1) Обозначим $$y=\sqrt{x-2}, \quad y\ge 0.$$ Тогда уравнение примет вид
$$\sqrt{(y-1)^2}+\sqrt{(y-3)^2}=6,$$
то есть
$$|y-1|+|y-3|=6.$$
Рассмотрим случаи.
Если $$0\le y\le 1,$$ то
$$1-y+3-y=6,$$
$$-2y=2,$$
$$y=-1,$$
что невозможно.
Если $$1\le y\le 3,$$ то
$$y-1+3-y=6,$$
$$2=6,$$
что невозможно.
Если $$y\ge 3,$$ то
$$y-1+y-3=6,$$
$$2y=10,$$
$$y=5.$$
Тогда
$$\sqrt{x-2}=5,$$
$$x-2=25,$$
$$x=27.$$
2) Обозначим $$y=\sqrt{x-1}, \quad y\ge 0.$$ Тогда
$$\sqrt{(y-2)^2}+\sqrt{(y-3)^2}=1,$$
то есть
$$|y-2|+|y-3|=1.$$
Рассмотрим случаи.
Если $$0\le y\le 2,$$ то
$$2-y+3-y=1,$$
$$-2y=-4,$$
$$y=2.$$
Тогда
$$\sqrt{x-1}=2,$$
$$x-1=4,$$
$$x=5.$$
Если $$2\le y\le 3,$$ то
$$y-2+3-y=1,$$
$$1=1,$$
значит, подходят все $$y$$ из этого промежутка.
Тогда
$$2\le \sqrt{x-1}\le 3,$$
$$4\le x-1\le 9,$$
$$5\le x\le 10.$$
Если $$y\ge 3,$$ то
$$y-2+y-3=1,$$
$$2y=6,$$
$$y=3.$$
Это уже входит в предыдущий промежуток, поэтому новых решений нет.
Следовательно, $$x\in[5;10].$$
3) Обозначим $$y=\sqrt{x+1}, \quad y\ge 0.$$ Тогда
$$\sqrt{(y+1)^2}-\sqrt{(y-2)^2}=4,$$
то есть
$$|y+1|-|y-2|=4.$$
Рассмотрим случаи.
Если $$0\le y\le 2,$$ то
$$y+1-(2-y)=4,$$
$$2y-1=4,$$
$$y=\frac{5}{2},$$
но это не принадлежит промежутку $$[0;2].$$
Если $$y\ge 2,$$ то
$$y+1-(y-2)=4,$$
$$3=4,$$
что невозможно.
Следовательно, корней нет.
Ответ
1) $$x=27$$; 2) $$x\in[5;10]$$; 3) корней нет.
