Упр.14.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Решите уравнение:
- а) $$\sqrt{2-x}=x$$;
б) $$\sqrt{x+1}=x-1$$;
в) $$\sqrt{3x-2}=x$$;
г) $$\sqrt{x^2-1}=3-2x$$;
д) $$x-\sqrt{2x^2+x-21}=3$$;
е) $$x+2+\sqrt{8-3x-x^2}=0$$.
1) $$\sqrt{2-x}=x$$
Возведём обе части в квадрат:
$$2-x=x^2$$
$$x^2+x-2=0$$
$$D=1+8=9$$
$$x_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{-1+3}{2}=1$$
С учётом области определения $$2-x\ge 0$$ и $$x\ge 0$$ получаем $$0\le x\le 2$$. Подходит только $$x=1$$.
2) $$\sqrt{x+1}=x-1$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x+1=x^2-2x+1$$
$$x^2-3x=0$$
$$x(x-3)=0$$
$$x_1=0,\qquad x_2=3$$
По ОДЗ: $$x+1\ge 0$$ и $$x-1\ge 0$$, значит $$x\ge 1$$. Подходит только $$x=3$$.
3) $$\sqrt{3x-2}=x$$
Возведём обе части в квадрат:
$$3x-2=x^2$$
$$x^2-3x+2=0$$
$$D=9-8=1$$
$$x_1=\frac{3-1}{2}=1,\qquad x_2=\frac{3+1}{2}=2$$
По ОДЗ: $$3x-2\ge 0$$ и $$x\ge 0$$, то есть $$x\ge \frac23$$. Оба корня подходят.
4) $$\sqrt{x^2-1}=3-2x$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^2-1=(3-2x)^2$$
$$x^2-1=9-12x+4x^2$$
$$3x^2-12x+10=0$$
$$D=144-120=24$$
$$x=\frac{12\pm\sqrt{24}}{6}=\frac{6\pm\sqrt6}{3}$$
По ОДЗ: $$x^2-1\ge 0$$ и $$3-2x\ge 0$$, значит $$x\le -1$$ или $$x\ge 1$$, а также $$x\le \frac32$$. Из найденных корней подходит только
$$x=\frac{6-\sqrt6}{3}$$
5) $$x-\sqrt{2x^2+x-21}=3$$
Перенесём корень:
$$\sqrt{2x^2+x-21}=x-3$$
Тогда $$x-3\ge 0$$, то есть $$x\ge 3$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$2x^2+x-21=(x-3)^2$$
$$2x^2+x-21=x^2-6x+9$$
$$x^2+7x-30=0$$
$$D=49+120=169$$
$$x_1=\frac{-7-13}{2}=-10,\qquad x_2=\frac{-7+13}{2}=3$$
С учётом условия $$x\ge 3$$ подходит только $$x=3$$.
6) $$x+2+\sqrt{8-3x-x^2}=0$$
Перенесём корень:
$$\sqrt{8-3x-x^2}=-(x+2)$$
Значит $$x+2\le 0$$, то есть $$x\le -2$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$8-3x-x^2=(x+2)^2$$
$$8-3x-x^2=x^2+4x+4$$
$$2x^2+7x-4=0$$
$$D=49+32=81$$
$$x_1=\frac{-7-9}{4}=-4,\qquad x_2=\frac{-7+9}{4}=\frac12$$
С учётом условия $$x\le -2$$ подходит только $$x=-4$$.
Ответ
1) $$1$$; 2) $$3$$; 3) $$1,\,2$$; 4) $$\frac{6-\sqrt6}{3}$$; 5) $$3$$; 6) $$-4$$.
