Упр.14.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
- При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$\sqrt{4x-x^2-3}=x-a$$ имеет единственное решение?
Рассмотрим уравнение
$$\sqrt{4x-x^2-3}=x-a.$$
Чтобы оно имело единственное решение, удобно рассмотреть графики функций
$$y=\sqrt{4x-x^2-3} \quad \text{и} \quad y=x-a.$$
Найдём область определения левой части:
$$4x-x^2-3\ge 0,$$
$$-x^2+4x-3\ge 0,$$
$$-(x-1)(x-3)\ge 0,$$
$$1\le x\le 3.$$
График функции $$y=\sqrt{4x-x^2-3}$$ — верхняя полуокружность с концами в точках $$x=1$$ и $$x=3$$, а график $$y=x-a$$ — прямая с угловым коэффициентом $$1$$.
Рассмотрим точки пересечения. Возведём уравнение в квадрат:
$$4x-x^2-3=(x-a)^2,$$
$$4x-x^2-3=x^2-2ax+a^2,$$
$$2x^2-(2a+4)x+(a^2+3)=0.$$
Чтобы было единственное решение, прямая должна касаться графика или проходить через одну из концовых точек дуги.
1) Касание:
$$D=(2a+4)^2-4\cdot 2\cdot (a^2+3)=0,$$
$$4a^2+16a+16-8a^2-24=0,$$
$$a^2-4a+2=0,$$
$$a=2\pm \sqrt2.$$
2) Прохождение через конец дуги:
При $$x=1$$ имеем
$$\sqrt{4\cdot 1-1^2-3}=0=1-a,$$
откуда $$a=1.$$
При $$x=3$$ имеем
$$\sqrt{4\cdot 3-3^2-3}=0=3-a,$$
откуда $$a=3.$$
Проверка показывает, что при $$a=2+\sqrt2$$ получается две точки пересечения, а при $$a=2-\sqrt2$$ — единственная точка касания на дуге.
Ответ: $$a=2-\sqrt2,\;1,\;3.$$
