Упр.14.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 14.21. При каких значениях параметра a уравнение v(4x-x^2-3)=x-a имеет единственное решение?

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{4x-x^2-3}=x-a.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$4x-x^2-3=(x-a)^2.$$

Получаем

$$4x-x^2-3=x^2-2ax+a^2,$$

$$2x^2-(2a+4)x+(a^2+3)=0.$$

Чтобы уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы прямая $$y=x-a$$ пересекала график функции $$y=\sqrt{4x-x^2-3}$$ ровно в одной точке.

Найдём область определения функции:

$$4x-x^2-3\ge 0,$$

$$-(x^2-4x+3)\ge 0,$$

$$-(x-1)(x-3)\ge 0,$$

$$1\le x\le 3.$$

График $$y=\sqrt{4x-x^2-3}$$ — верхняя полуокружность с концами в точках $$ (1,0) $$ и $$ (3,0) $$ и вершиной $$ (2,1) $$. Прямая $$y=x-a$$ должна либо касаться этой дуги, либо проходить через её конец так, чтобы была только одна общая точка.

1) Если прямая проходит через точки $$ (1,0) $$ или $$ (3,0) $$, то:

$$0=1-a \Rightarrow a=1,$$

$$0=3-a \Rightarrow a=3.$$

2) Если прямая касается дуги, то подставим $$y=x-a$$ в уравнение окружности:

$$2x^2-(2a+4)x+(a^2+3)=0.$$

Для единственного решения дискриминант должен быть равен нулю:

$$D=(2a+4)^2-4\cdot 2\cdot (a^2+3)=0,$$

$$4a^2+16a+16-8a^2-24=0,$$

$$4a^2-16a+8=0,$$

$$a^2-4a+2=0.$$

Тогда

$$a=\frac{4\pm\sqrt{16-8}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt2}{2}=2\pm\sqrt2.$$