Упр.14.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 14.20. При каких значениях параметра a уравнение ax-1=v(8x-x^2-15) имеет единственное решение?

Рассмотрим уравнение

$$ax-1=\sqrt{8x-x^2-15}.$$

Правая часть определена, когда

$$8x-x^2-15\ge 0,$$

то есть

$$-(x-3)(x-5)\ge 0,\qquad 3\le x\le 5.$$

Возведём уравнение в квадрат:

$$\left(ax-1\right)^2=8x-x^2-15.$$

Получаем

$$a^2x^2-2ax+1=8x-x^2-15,$$

$$\left(a^2+1\right)x^2-(2a+8)x+16=0.$$

Чтобы исходное уравнение имело единственное решение, прямая $$y=ax-1$$ должна пересекать график $$y=\sqrt{8x-x^2-15}$$ ровно в одной точке.

Рассмотрим значения на концах области определения:

$$f(3)=3a-1,\qquad f(5)=5a-1.$$

Единственное решение получается в двух случаях:

• прямая касается графика в одной внутренней точке, тогда дискриминант квадратного уравнения равен нулю:

$$D=(2a+8)^2-4(a^2+1)\cdot 16=0,$$

$$4a^2+32a+64-64a^2-64=0,$$

$$60a^2-32a=0,$$

$$4a(15a-8)=0,$$

$$a=0 \quad \text{или} \quad a=\frac{8}{15};$$

• прямая проходит через одну из концов дуги, тогда:

$$3a-1=0 \Rightarrow a=\frac13,$$

$$5a-1=0 \Rightarrow a=\frac15.$$

Проверка показывает, что при $$a=0$$ решений два, а при $$a=\frac15$$ и $$a=\frac13$$ получается по одному решению. Значение $$a=\frac{8}{15}$$ также даёт единственное решение.

Ответ: $$a=\frac15,\ \frac13,\ \frac{8}{15}.$$