Упр.14.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v(x-1-2v(x-2))+v(x+7-6v(x-2))=6;
2) v(x+3-4v(x-1))+v(x+8-6v(x-1))=1;
3) v(x+2+2v(x+1))-v(x+6-4v(x+1))=4.

1. $$\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}+\sqrt{x+7-6\sqrt{x-2}}=6.$$
   Обозначим $$y=\sqrt{x-2}$$, тогда $$y\ge 0$$ и $$x=y^2+2$$. Получаем
   $$ \sqrt{y^2-2y+1}+\sqrt{y^2-6y+9}=6, $$
   то есть
   $$ |y-1|+|y-3|=6. $$
   Рассмотрим случаи:
   • если $$0\le y\le 1$$, то $$1-y+3-y=6$$, откуда $$y=-1$$, не подходит;
   • если $$1\le y\le 3$$, то $$y-1+3-y=2$$, что не равно $$6$$;
   • если $$y\ge 3$$, то $$y-1+y-3=6$$, откуда $$2y=10$$, $$y=5$$.

   Тогда
   $$ x-2=25,\quad x=27. $$

2. $$\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1.$$
   Обозначим $$y=\sqrt{x-1}$$, тогда $$y\ge 0$$ и $$x=y^2+1$$. Получаем
   $$ \sqrt{y^2-4y+4}+\sqrt{y^2-6y+9}=1, $$
   то есть
   $$ |y-2|+|y-3|=1. $$
   Рассмотрим случаи:
   • если $$0\le y\le 2$$, то $$2-y+3-y=1$$, откуда $$y=2$$;
   • если $$2\le y\le 3$$, то $$y-2+3-y=1$$, тождество верно;
   • если $$y\ge 3$$, то $$y-2+y-3=1$$, откуда $$2y=6$$, $$y=3$$.

   Значит,
   $$ y\in[2,3]. $$
   Тогда
   $$ x-1\in[4,9],\quad x\in[5,10]. $$

3. $$\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+6-4\sqrt{x+1}}=4.$$
   Обозначим $$y=\sqrt{x+1}$$, тогда $$y\ge 0$$ и $$x=y^2-1$$. Получаем
   $$ \sqrt{y^2+2y+1}-\sqrt{y^2-4y+4}=4, $$
   то есть
   $$ |y+1|-|y-2|=4. $$
   Так как $$y\ge 0$$, то $$|y+1|=y+1$$. Рассмотрим случаи:
   • если $$0\le y\le 2$$, то $$y+1-(2-y)=4$$, откуда $$2y=5$$, $$y=\frac52$$, но это не принадлежит промежутку;
   • если $$y\ge 2$$, то $$y+1-(y-2)=3$$, что не равно $$4$$.

   Следовательно, корней нет.

Ответ

1) $$27$$; 2) $$[5;10]$$; 3) корней нет.