Упр.14.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (x+3)^(1/4)=(2x-3)^(1/4); 3) (x^2-25)^(1/5)=(2x+10)^(1/5);
2) v(4x-5)=v(1-x); 4) v(x^2-36)=v(2x-1).

Подробный ответ

$$\sqrt[4]{x+3}=\sqrt[4]{2x-3}$$
Так как функция $$\sqrt[4]{t}$$ возрастает на области определения, то
$$x+3=2x-3$$
$$x=6$$
Проверка области определения: $$x+3\ge 0$$ и $$2x-3\ge 0$$. При $$x=6$$ условия выполняются.
$$\sqrt{4x-5}=\sqrt{1-x}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$4x-5=1-x$$
$$5x=6$$
$$x=\frac{6}{5}$$
Но область определения задаётся условиями
$$4x-5\ge 0,\quad 1-x\ge 0$$
то есть
$$x\ge \frac54,\quad x\le 1$$
Эти условия несовместны, значит, корней нет.
$$\sqrt[5]{x^2-25}=\sqrt[5]{2x+10}$$
Поскольку функция $$\sqrt[5]{t}$$ возрастает на всей числовой прямой, получаем:
$$x^2-25=2x+10$$
$$x^2-2x-35=0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-35)=4+140=144$$
$$x=\frac{2\pm 12}{2}$$
$$x_1=-5,\quad x_2=7$$
$$\sqrt{x^2-36}=\sqrt{2x-1}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^2-36=2x-1$$
$$x^2-2x-35=0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-35)=144$$
$$x=\frac{2\pm 12}{2}$$
$$x_1=-5,\quad x_2=7$$
Проверим область определения:
$$x^2-36\ge 0,\quad 2x-1\ge 0$$
$$|x|\ge 6,\quad x\ge \frac12$$
Подходит только $$x=7$$.