Упр.14.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 14.19. Для каждого значения параметра a решите уравнение 2v(x+2+2v(x+1))=a-x.

Обозначим $$t=\sqrt{x+1}.$$ Тогда $$x=t^2-1,$$ а уравнение принимает вид

$$2\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}}=a-x.$$

Подставим $$x=t^2-1$$:

$$2\sqrt{t^2+1+2t}=a-(t^2-1).$$

Так как $$t^2+1+2t=(t+1)^2,$$ получаем

$$2\sqrt{(t+1)^2}=a-t^2+1.$$

Учитывая, что $$t=\sqrt{x+1}\ge 0,$$ имеем $$t+1>0,$$ значит

$$2(t+1)=a-t^2+1.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$t^2+2t+1=a,$$

то есть

$$\left(t+1\right)^2=a.$$

Следовательно,

$$t+1=\sqrt{a},$$

так как левая часть неотрицательна. Тогда

$$t=\sqrt{a}-1,$$

и потому

$$x+1=(\sqrt{a}-1)^2.$$

Отсюда

$$x=(\sqrt{a}-1)^2-1=a-2\sqrt{a}.$$

Проверим условие существования решения: нужно $$\sqrt{a}-1\ge 0,$$ то есть $$a\ge 1.$$

При $$a<1$$ решений нет.

Ответ

При $$a<1$$ корней нет; при $$a\ge 1$$ $$x=a-2\sqrt{a}.$$