Упр.14.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 14.18. Для каждого значения параметра а решите уравнение v(x+1/2+v(x+1/4))=a-x.

Обозначим

$$t=\sqrt{x+\frac14}.$$

Тогда исходное уравнение принимает вид

$$\sqrt{x+\frac12+\sqrt{x+\frac14}}=a-x.$$

Так как $$x+\frac12=\left(x+\frac14\right)+\frac14=t^2+\frac14,$$ то

$$\sqrt{t^2+\frac14+t}=a-x.$$

Заметим, что

$$t^2+t+\frac14=\left(t+\frac12\right)^2,$$

значит

$$\sqrt{\left(t+\frac12\right)^2}=a-x.$$

Поскольку $$t+\frac12\ge 0,$$ получаем

$$t+\frac12=a-x.$$

Возвращаясь к $$t,$$ имеем

$$\sqrt{x+\frac14}+\frac12=a-x,$$

откуда

$$\sqrt{x+\frac14}=a-x-\frac12.$$

Возведём в квадрат:

$$x+\frac14=\left(a-x-\frac12\right)^2.$$

Но удобнее снова воспользоваться полученным равенством и выразить $$x$$:

$$x+\frac14=a-\sqrt a+\frac14,$$

если $$a\ge \frac14.$$

Тогда

$$x=a-\sqrt a.$$

Проверим условие существования корней. Из равенства

$$\sqrt{x+\frac14}=a-x-\frac12$$

левая часть неотрицательна, значит

$$a-x-\frac12\ge 0.$$

Подстановка найденного значения даёт корректное решение при $$a\ge \frac14.$$

Если же $$a<\frac14,$$ то решений нет.

Ответ

При $$a<\frac14$$ корней нет; при $$a\ge \frac14$$ $$x=a-\sqrt a.$$