Упр.14.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) v(x^2-3x+2)+v(x^2-6x+8)=v(x^2-11x+18);
2) v(x^2-3x-10)+v(x^2+3x+2)=v(x^2+8x+12).
$$\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{x^2-6x+8}=\sqrt{x^2-11x+18}$$
Разложим подкоренные выражения на множители:
$$\sqrt{(x-1)(x-2)}+\sqrt{(x-2)(x-4)}=\sqrt{(x-2)(x-9)}.$$Обозначим $$t=\sqrt{x-2}$$. Тогда удобно заметить, что при допустимых значениях
$$x\ge 2$$
уравнение можно преобразовать к виду
$$\sqrt{x-1}+\sqrt{x-4}-\sqrt{x-9}=0.$$Перенесём и преобразуем:
$$\sqrt{x-1}+\sqrt{x-4}=\sqrt{x-9}.$$
После возведения в квадрат и упрощения получаем
$$2\sqrt{x^2-5x+4}=-x-4.$$Возведём в квадрат:
$$4(x^2-5x+4)=(x+4)^2,$$
$$4x^2-20x+16=x^2+8x+16,$$
$$3x^2-28x=0,$$
$$x(3x-28)=0.$$Отсюда $$x=0$$ или $$x=\dfrac{28}{3}.$$ Проверим по области допустимых значений. Подходит только $$x=0$$ и $$x=2$$ из исходного уравнения после проверки корней.
Ответ: $$x=0,\;2.$$
$$\sqrt{x^2-3x-10}+\sqrt{x^2+3x+2}=\sqrt{x^2+8x+12}$$
Разложим подкоренные выражения:
$$\sqrt{(x+2)(x-5)}+\sqrt{(x+2)(x+1)}=\sqrt{(x+2)(x+6)}.$$При допустимых значениях $$x\le -2$$ или $$x\ge 5$$ уравнение преобразуется к виду
$$\sqrt{x-5}+\sqrt{x+1}-\sqrt{x+6}=0.$$Перенесём:
$$\sqrt{x-5}+\sqrt{x+1}=\sqrt{x+6}.$$
После преобразований получаем
$$2\sqrt{x^2-4x-5}=10-x.$$Возведём в квадрат:
$$4(x^2-4x-5)=(10-x)^2,$$
$$4x^2-16x-20=x^2-20x+100,$$
$$3x^2+4x-120=0.$$Найдём корни:
$$D=4^2-4\cdot 3\cdot(-120)=16+1440=1456=16\cdot 91,$$
$$x=\frac{-4\pm \sqrt{1456}}{6}=\frac{-4\pm 4\sqrt{91}}{6}=\frac{-2\pm 2\sqrt{91}}{3}.$$С учётом области допустимых значений подходит также $$x=-2.$$ Проверка показывает, что оба значения удовлетворяют уравнению.
Ответ: $$x=-2,\;\dfrac{-2+2\sqrt{91}}{3}.$$
