Упр.14.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v(x^2-4)+v(x^2+2x-8)=v(x^2-6x+8);
2) v(2x^2+5x+2)-v(x^2+x-2)=v(3x+6).

1) $$\sqrt{x^2-4}+\sqrt{x^2+2x-8}=\sqrt{x^2-6x+8}.$$

Разложим подкоренные выражения на множители:

$$\sqrt{(x-2)(x+2)}+\sqrt{(x-2)(x+4)}=\sqrt{(x-2)(x-4)}.$$

Обозначим $$t=\sqrt{x-2}$$, тогда при допустимых значениях можно переписать уравнение в виде

$$\sqrt{x+2}+\sqrt{x+4}-\sqrt{x-4}=0.$$

Из области определения получаем $$x\ge 4$$. Тогда после преобразований:

$$x+2+2\sqrt{(x+2)(x+4)}+x+4=x-4,$$

$$2\sqrt{x^2+6x+8}=-x-10.$$

Возводим в квадрат:

$$4(x^2+6x+8)=(x+10)^2,$$

$$4x^2+24x+32=x^2+20x+100,$$

$$3x^2+4x-68=0.$$

$$D=4^2-4\cdot 3\cdot(-68)=16+816=832=64\cdot 13,$$

$$x=\frac{-4\pm 8\sqrt{13}}{6}=\frac{-2\pm 4\sqrt{13}}{3}.$$

С учётом области определения подходит только

$$x=\frac{-2+4\sqrt{13}}{3}.$$

Кроме того, при проверке исходного уравнения подходит ещё $$x=2$$.

2) $$\sqrt{2x^2+5x+2}-\sqrt{x^2+x-2}=\sqrt{3x+6}.$$

Разложим подкоренные выражения:

$$\sqrt{(2x+1)(x+2)}-\sqrt{(x-1)(x+2)}=\sqrt{3(x+2)}.$$

Вынесем общий множитель:

$$\sqrt{x+2}\left(\sqrt{2x+1}-\sqrt{x-1}\right)=\sqrt{3}\sqrt{x+2}.$$

При $$x\ge -2$$ и выполнении условий подкоренных выражений получаем

$$\sqrt{2x+1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{3}.$$

Перенесём и возведём в квадрат:

$$\sqrt{2x+1}=\sqrt{x-1}+\sqrt{3},$$

$$2x+1=x-1+2\sqrt{3(x-1)}+3,$$

$$2\sqrt{3x-3}=x-1.$$

Снова возводим в квадрат:

$$4(3x-3)=(x-1)^2,$$

$$12x-12=x^2-2x+1,$$

$$x^2-14x+13=0.$$

$$D=14^2-4\cdot 13=196-52=144,$$

$$x_1=\frac{14-12}{2}=1,\qquad x_2=\frac{14+12}{2}=13.$$

Оба значения удовлетворяют области определения.

Ответ

1) $$2,\ \frac{-2+4\sqrt{13}}{3}$$; 2) $$-2,\ 1,\ 13$$.