Упр.14.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v(x+2v(x-1))+v(x-2v(x-1))=6;
2) v(x+6+2v(x+5))-v(x+6-2v(x+5))=2.

1. Рассмотрим уравнение

   $$\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=6.$$

   Преобразуем подкоренные выражения:

   $$x+2\sqrt{x-1}=x-1+2\sqrt{x-1}+1=\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2,$$

   $$x-2\sqrt{x-1}=x-1-2\sqrt{x-1}+1=\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2.$$

   Тогда

   $$\left|\sqrt{x-1}+1\right|+\left|\sqrt{x-1}-1\right|=6.$$

   Обозначим $$y=\sqrt{x-1}, \quad y\ge 0.$$ Получим

   $$|y+1|+|y-1|=6.$$

   Рассмотрим случаи.

   1) Если $$0\le y\le 1,$$ то

   $$|y+1|+|y-1|=(y+1)+(1-y)=2,$$

   что не подходит.

   2) Если $$y\ge 1,$$ то

   $$|y+1|+|y-1|=(y+1)+(y-1)=2y.$$

   Тогда

   $$2y=6,\quad y=3.$$

   Следовательно,

   $$\sqrt{x-1}=3,\quad x-1=9,\quad x=10.$$

2. Рассмотрим уравнение

   $$\sqrt{x+6+2\sqrt{x+5}}-\sqrt{x+6-2\sqrt{x+5}}=2.$$

   Преобразуем подкоренные выражения:

   $$x+6+2\sqrt{x+5}=x+5+2\sqrt{x+5}+1=\left(\sqrt{x+5}+1\right)^2,$$

   $$x+6-2\sqrt{x+5}=x+5-2\sqrt{x+5}+1=\left(\sqrt{x+5}-1\right)^2.$$

   Тогда

   $$\left|\sqrt{x+5}+1\right|-\left|\sqrt{x+5}-1\right|=2.$$

   Обозначим $$y=\sqrt{x+5}, \quad y\ge 0.$$ Получим

   $$|y+1|-|y-1|=2.$$

   Рассмотрим случаи.

   1) Если $$0\le y\le 1,$$ то

   $$|y+1|-|y-1|=(y+1)-(1-y)=2y.$$

   Тогда

   $$2y=2,\quad y=1,$$

   откуда

   $$\sqrt{x+5}=1,\quad x+5=1,\quad x=-4.$$

   2) Если $$y\ge 1,$$ то

   $$|y+1|-|y-1|=(y+1)-(y-1)=2,$$

   то есть равенство выполняется при любом $$y\ge 1.$$

   Значит,

   $$\sqrt{x+5}\ge 1,\quad x+5\ge 1,\quad x\ge -4.$$

Ответ

1) $$x=10$$; 2) $$x\in[-4;+\infty)$$.