Упр.14.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v(x+2)+v(3x+7)=v(8-x);
2) v(6x-11)-v(x-2)=v(x+3).

1. $$\sqrt{x+2}+\sqrt{3x+7}=\sqrt{8-x}.$$

   Перенесём один корень вправо и возведём в квадрат:

   $$x+2+2\sqrt{(x+2)(3x+7)}+3x+7=8-x.$$

   $$2\sqrt{3x^2+13x+14}=-5x-1.$$

   Возведём в квадрат:

   $$4(3x^2+13x+14)=(5x+1)^2.$$

   $$12x^2+52x+56=25x^2+10x+1.$$

   $$13x^2-42x-55=0.$$

   $$D=(-42)^2-4\cdot 13\cdot(-55)=1764+2860=4624=68^2.$$

   $$x_1=\frac{42-68}{2\cdot 13}=-1,\qquad x_2=\frac{42+68}{2\cdot 13}=\frac{55}{13}.$$

   Проверим область допустимых значений:

   $$x+2\ge 0,\quad 3x+7\ge 0,\quad 8-x\ge 0.$$

   Отсюда $$x\ge -2,\; x\ge -\frac73,\; x\le 8.$$

   Подходит только $$x=-1.$$

2. $$\sqrt{6x-11}-\sqrt{x-2}=\sqrt{x+3}.$$

   Перенесём $$\sqrt{x-2}$$ вправо:

   $$\sqrt{6x-11}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x+3}.$$

   Возведём в квадрат:

   $$6x-11=x-2+2\sqrt{(x-2)(x+3)}+x+3.$$

   $$2\sqrt{x^2+x-6}=4x-12.$$

   $$\sqrt{x^2+x-6}=2x-6.$$

   Возведём в квадрат:

   $$x^2+x-6=4x^2-24x+36.$$

   $$3x^2-25x+42=0.$$

   $$D=(-25)^2-4\cdot 3\cdot 42=625-504=121=11^2.$$

   $$x_1=\frac{25-11}{2\cdot 3}=\frac73,\qquad x_2=\frac{25+11}{2\cdot 3}=6.$$

   Проверим ОДЗ:

   $$6x-11\ge 0,\quad x-2\ge 0,\quad x+3\ge 0.$$

   Отсюда $$x\ge \frac{11}{6},\; x\ge 2,\; x\ge -3.$$

   Кроме того, из $$\sqrt{x^2+x-6}=2x-6$$ следует $$2x-6\ge 0,$$ то есть $$x\ge 3.$$

   Из найденных корней подходит только $$x=6.$$

Ответ

1) $$x=-1$$; 2) $$x=6$$.