Упр.14.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\sqrt{x+2}+\sqrt{3x+7}=\sqrt{8-x}$$;
2. $$\sqrt{6x-11}-\sqrt{x-2}=\sqrt{x+3}$$.

1) $$\sqrt{x+2}+\sqrt{3x+7}=\sqrt{8-x}.$$

Возведём в квадрат:

$$x+2+2\sqrt{(x+2)(3x+7)}+3x+7=8-x.$$

$$2\sqrt{3x^2+13x+14}=-5x-1.$$

Снова возведём в квадрат:

$$4(3x^2+13x+14)=(5x+1)^2.$$

$$12x^2+52x+56=25x^2+10x+1.$$

$$13x^2-42x-55=0.$$

$$D=(-42)^2-4\cdot 13\cdot(-55)=1764+2860=4624=68^2.$$

$$x_1=\frac{42-68}{2\cdot 13}=-1,\qquad x_2=\frac{42+68}{2\cdot 13}=\frac{55}{13}.$$

Проверим область допустимых значений:

$$x+2\ge 0,\quad 3x+7\ge 0,\quad 8-x\ge 0,$$

откуда $$x\ge -2,\quad x\ge -\frac{7}{3},\quad x\le 8.$$

Кроме того, из уравнения $$2\sqrt{3x^2+13x+14}=-5x-1$$ следует $$-5x-1\ge 0,$$ то есть $$x\le -\frac15.$$

Из найденных корней этому условию удовлетворяет только $$x=-1.$$

2) $$\sqrt{6x-11}-\sqrt{x-2}=\sqrt{x+3}.$$

Перенесём один корень вправо:

$$\sqrt{6x-11}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x+3}.$$

Возведём в квадрат:

$$6x-11=x-2+2\sqrt{(x-2)(x+3)}+x+3.$$

$$2\sqrt{x^2+x-6}=4x-12.$$

$$\sqrt{x^2+x-6}=2x-6.$$

Снова возведём в квадрат:

$$x^2+x-6=4x^2-24x+36.$$

$$3x^2-25x+42=0.$$

$$D=(-25)^2-4\cdot 3\cdot 42=625-504=121.$$

$$x_1=\frac{25-11}{2\cdot 3}=\frac73,\qquad x_2=\frac{25+11}{2\cdot 3}=6.$$

Проверим область допустимых значений:

$$6x-11\ge 0,\quad x-2\ge 0,\quad x+3\ge 0,$$

то есть $$x\ge \frac{11}{6},\quad x\ge 2,\quad x\ge -3.$$

Также из уравнения $$\sqrt{x^2+x-6}=2x-6$$ получаем $$2x-6\ge 0,$$ то есть $$x\ge 3.$$

Из двух корней этому условию удовлетворяет только $$x=6.$$

Ответ: 1) $$-1$$; 2) $$6$$.