Упр.14.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) v(2x+1)+v(x-3)=2vx;
2) v(5x-1)-v(3x-2)=v(x-1);
3) 2v(3x-1)-v(x-1)=v(x-9);
4) v(x+1)-v(9-x)=v(2x-12).

Подробный ответ

$$\sqrt{2x+1}+\sqrt{x-3}=2\sqrt{x}$$
Перенесём один корень вправо и возведём в квадрат:
$$\sqrt{2x+1}=2\sqrt{x}-\sqrt{x-3}$$
$$2x+1=4x-4\sqrt{x(x-3)}+x-3$$
$$4\sqrt{x(x-3)}=3x-4$$
Снова возведём в квадрат:
$$16x(x-3)=(3x-4)^2$$
$$16x^2-48x=9x^2-24x+16$$
$$7x^2-24x-16=0$$
$$D=24^2+4\cdot 7\cdot 16=1024$$
$$x_{1,2}=\frac{24\pm 32}{14}$$
$$x_1=-\frac47,\quad x_2=4$$
Проверка области определения:
$$2x+1\ge 0,\quad x-3\ge 0,\quad x\ge 0$$
Подходит только $$x=4$$.
$$\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}$$
Перенесём один корень вправо:
$$\sqrt{5x-1}=\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}$$
Возведём в квадрат:
$$5x-1=3x-2+2\sqrt{(3x-2)(x-1)}+x-1$$
$$2\sqrt{(3x-2)(x-1)}=x+2$$
$$4(3x-2)(x-1)=(x+2)^2$$
$$12x^2-20x+8=x^2+4x+4$$
$$11x^2-24x+4=0$$
$$D=24^2-4\cdot 11\cdot 4=400$$
$$x_{1,2}=\frac{24\pm 20}{22}$$
$$x_1=\frac{2}{11},\quad x_2=2$$
Проверка области определения:
$$5x-1\ge 0,\quad 3x-2\ge 0,\quad x-1\ge 0$$
Подходит только $$x=2$$.
$$2\sqrt{3x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{x-9}$$
Перенесём корень вправо:
$$2\sqrt{3x-1}=\sqrt{x-1}+\sqrt{x-9}$$
Возведём в квадрат:
$$4(3x-1)=x-1+2\sqrt{(x-1)(x-9)}+x-9$$
$$2\sqrt{(x-1)(x-9)}=10x-4$$
$$4(x-1)(x-9)=(10x-4)^2$$
$$4x^2-40x+36=100x^2-80x+16$$
$$96x^2-40x-20=0$$
После упрощения получаем $$x=0$$, но это значение не входит в область определения.
Проверка области определения:
$$3x-1\ge 0,\quad x-1\ge 0,\quad x-9\ge 0$$
Следовательно, корней нет.
$$\sqrt{x+1}-\sqrt{9-x}=\sqrt{2x-12}$$
Перенесём один корень вправо:
$$\sqrt{x+1}=\sqrt{9-x}+\sqrt{2x-12}$$
Возведём в квадрат:
$$x+1=9-x+2\sqrt{(9-x)(2x-12)}+2x-12$$
$$2\sqrt{(9-x)(2x-12)}=4-x$$
Возведём в квадрат ещё раз:
$$4(9-x)(2x-12)=(4-x)^2$$
$$x^2-15x+56=0$$
$$D=15^2-4\cdot 56=1$$
$$x_{1,2}=\frac{15\pm 1}{2}$$
$$x_1=7,\quad x_2=8$$
Проверка области определения:
$$x+1\ge 0,\quad 9-x\ge 0,\quad 2x-12\ge 0$$
Оба значения подходят.