Упр.14.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) v(x-5)+v(10-x)=3; 3) v(3x-1)+v(x+3)=2;
2) v(x-7)+v(x-1)=4; 4) v(13-4x)+v(x+3)=5.

Подробный ответ

$$\sqrt{x-5}+\sqrt{10-x}=3.$$
Возведём в квадрат:
$$x-5+2\sqrt{(x-5)(10-x)}+10-x=9,$$
$$2\sqrt{15x-x^2-50}=4,$$
$$\sqrt{15x-x^2-50}=2,$$
$$15x-x^2-50=4,$$
$$x^2-15x+54=0.$$
$$D=15^2-4\cdot 54=225-216=9,$$
$$x_{1,2}=\frac{15\pm 3}{2},$$
$$x_1=6,\quad x_2=9.$$
Проверка области определения:
$$x-5\ge 0,\quad 10-x\ge 0,$$
откуда $$5\le x\le 10.$$ Оба корня подходят.
$$\sqrt{x-7}+\sqrt{x-1}=4.$$
Возведём в квадрат:
$$x-7+2\sqrt{(x-7)(x-1)}+x-1=16,$$
$$2\sqrt{x^2-8x+7}=24-2x,$$
$$\sqrt{x^2-8x+7}=12-x.$$
Снова возведём в квадрат:
$$x^2-8x+7=(12-x)^2,$$
$$x^2-8x+7=144-24x+x^2,$$
$$16x=137,$$
$$x=\frac{137}{16}=8\frac{9}{16}.$$
Область определения:
$$x-7\ge 0,\quad x-1\ge 0,$$
то есть $$x\ge 7.$$ Найденное значение подходит.
$$\sqrt{3x-1}+\sqrt{x+3}=2.$$
Возведём в квадрат:
$$3x-1+2\sqrt{(3x-1)(x+3)}+x+3=4,$$
$$2\sqrt{3x^2+8x-3}=2-4x,$$
$$\sqrt{3x^2+8x-3}=1-2x.$$
Снова возведём в квадрат:
$$3x^2+8x-3=(1-2x)^2,$$
$$3x^2+8x-3=1-4x+4x^2,$$
$$x^2-12x+4=0.$$
$$D=12^2-4\cdot 1\cdot 4=144-16=128,$$
$$x=\frac{12\pm \sqrt{128}}{2}=\frac{12\pm 8\sqrt2}{2}=6\pm 4\sqrt2.$$
По области определения:
$$3x-1\ge 0,\quad x+3\ge 0,\quad 1-2x\ge 0,$$
откуда $$\frac13\le x\le \frac12.$$ Подходит только
$$x=6-4\sqrt2.$$
$$\sqrt{13-4x}+\sqrt{x+3}=5.$$
Возведём в квадрат:
$$13-4x+2\sqrt{(13-4x)(x+3)}+x+3=25,$$
$$2\sqrt{x+39-4x^2}=9+3x,$$
$$4(x+39-4x^2)=(9+3x)^2,$$
$$4x+156-16x^2=81+54x+9x^2,$$
$$25x^2+50x-75=0,$$
$$x^2+2x-3=0,$$
$$x_1=-3,\quad x_2=1.$$
Проверка области определения:
$$13-4x\ge 0,\quad x+3\ge 0,$$
оба корня подходят.