Упр.14.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (2x-1)^(1/7)=(3-x)^(1/7); 3) v(2x-1)=v(x-3);
2) v(2x-1)=v(1-2x); 4) v(2x-1)=v(x^2+4x-16).

1. $$\sqrt[7]{2x-1}=\sqrt[7]{3-x}$$

   Так как функция $$y=\sqrt[7]{t}$$ монотонна на всей числовой прямой, то

   $$2x-1=3-x$$

   $$3x=4$$

   $$x=\frac{4}{3}$$

2. $$\sqrt{2x-1}=\sqrt{1-2x}$$

   Для существования корней нужно:

   $$2x-1\ge 0,\qquad 1-2x\ge 0$$

   Отсюда

   $$x\ge \frac12,\qquad x\le \frac12$$

   Значит, $$x=\frac12$$. Проверка:

   $$\sqrt{2\cdot \frac12-1}=\sqrt{1-2\cdot \frac12}=0$$

3. $$\sqrt{2x-1}=\sqrt{x-3}$$

   Область определения:

   $$2x-1\ge 0,\qquad x-3\ge 0$$

   то есть

   $$x\ge \frac12,\qquad x\ge 3$$

   Следовательно, $$x\ge 3$$.

   Возводим в квадрат:

   $$2x-1=x-3$$

   $$x=-2$$

   Но $$x=-2$$ не принадлежит области определения, значит, корней нет.

4. $$\sqrt{2x-1}=\sqrt{x^2+4x-16}$$

   Область определения:

   $$2x-1\ge 0$$

   Возводим в квадрат:

   $$2x-1=x^2+4x-16$$

   $$x^2+2x-15=0$$

   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot (-15)=64$$

   $$x_{1,2}=\frac{-2\pm 8}{2}$$

   $$x_1=-5,\qquad x_2=3$$

   Проверяем условие $$2x-1\ge 0$$: подходит только $$x=3$$.

Ответ

1) $$\frac{4}{3}$$; 2) $$\frac12$$; 3) корней нет; 4) $$3$$.